Comment faire une horloge avec un glaçon ?

Afin d'étudier la taille des gouttes relâchées, nous avons placé un glaçon coloré en bleu dans un bécher entre deux couches d'huiles de densité et de couleur différentes. Cela permet de simlpifier l'étude du phénomène, les oscillations du glaçon seront, dans ce cas, de plus petite amplitude que dans le cas du gradient de densité d'huile. Nous avons choisi pour l’huile du dessus une huile minérale de moteur, de masse volumique 850 kg/m³, et l’huile du dessous de l’huile de ricin, de masse volumique 960 kg/m³. Ces deux huiles sont non-miscibles. L’huile de ricin est plus légère que l’eau (de masse volumique d’environ 1 000 kg/m³), ainsi les gouttes qui se détachent du glaçon tombent directement au fond du récipient.

Sur la figure 5, on observe la première, deuxième, sixième et dixième goutte, après respectivement deux, trois, neuf et vingt minutes d'expérience. Ces gouttes ont toutes la même taille, de l'ordre du centimètre. En fait, cette taille est donnée par la longueur capillaire.

Figure 5.  Photos de différentes gouttes lors de la fonte d'un glaçon (une photo mesure 10 cm de largeur). On voit que le rayon des gouttes reste constant au cours de la fonte

Lors de la formation d'une goutte, il y a une compétition entre deux phénomènes, comme on peut le voir en figure 6. La gravité tend à faire tomber la goutte, tandis que la tension superficielle tend à coller le film d'eau sur le glaçon.

Figure 6.  Schéma de la formation d'une goutte (en bleu foncé) en dessous d'un glaçon (en bleu clair). La goutte se détache lorsqu'elle atteint une taille caractéristique \(l_c\)

Considérons une goutte sphérique de rayon \(l\) et de volume \(V_g\) (\(V_g\) = \( \frac{4}{3}\pi l^3\)).

Comme la goutte est immergée dans l'huile, la force due à la gravité n'est pas directement \(m_{g} \mathbf{g}\), car il faut prendre aussi en compte l'effet de la poussée d'Archimède. [On note ici en gras les grandeurs vectorielles]. En notant \(\rho_{eau~liquide}\) la masse volumique de l'eau et \(\rho_{b}\) la masse volumique de l'huile du bas, la force résultante est :

$$ \mathbf{F_g} = ( \Delta \rho V_g) \mathbf{g} $$

où \(\Delta \rho\) = \(\rho_{eau~liquide}\) - \(\rho_{b}\) est la masse volumique effective. On parle de gravité compensée.

La force résultante est donc proportionnelle à :

$$ \mathbf{F_g} \varpropto \Delta \rho l^3 \mathbf{g}~~~~\color{gray}{(eq1)} $$

D'autre part, la force due aux effets de tension superficielle est donnée en ordre de grandeur par :

$$ \mathbf{F_{\gamma}} \varpropto \gamma l~~~~\color{gray}{(eq2)} $$

où \(\gamma\) est le cœfficient de tension superficielle entre l'eau et l'huile de ricin.

En faisant le rapport entre ces deux termes et en négligeant tous les préfacteurs numériques, on définit alors la longueur capillaire \(l_c\) comme la taille pour laquelle ces deux forces se compensent :

$$ l_c = \sqrt{\frac{\gamma}{\Delta \rho g}}~~~~\color{gray}{(eq3)} $$

Ainsi, on s'attend à ce que la taille de goutte soit de l'ordre de la longueur capillaire.

Le cœfficient de tension superficielle entre l'eau et l'huile du ricin vaut^[1] \(\gamma\) ≈ 25 mN/m et la masse volumique effective \(\Delta \rho\) ≈ 40 kg/m³. On trouve alors une longueur capillaire de l'ordre de \(l_c\) ≈ 8 mm, ce qui est cohérent avec l'observation des gouttes de rayon de l'ordre du centimètre sur la figure 6.

Nous avons vu que la taille des gouttes, donnée par la longueur capillaire, dépend notamment de la tension superficielle. Une façon simple de changer la tension superficielle entre l'eau et un autre milieu est d'ajouter des tensio-actifs (par exemple du savon), ce qui a pour effet de faire chuter la tension superficielle.

Sur la figure 7, on a tracé le rayon de chaque goutte en fonction du temps, pour un glaçon fait à partir d'eau (marqueurs φ bleus), et un glaçon fait à partir d'eau savonneuse (marqueurs φ verts). Les régions colorées correspondent à la longueur capillaire dans chacun des cas. Les bandes sont larges, car il est difficile^[2] de mesurer avec précision le cœfficient \(\gamma\). On voit que la longueur capillaire prédit bien la taille des gouttes, et que changer le cœfficient de tension superficielle permet de la modifier.

Figure 7.  Rayons des gouttes de deux glaçons : l'un composé d'eau (en bleu) et l'autre composé d'eau savonneuse (en vert). Les zones colorées correspondent aux longueurs capillaires respectives

Pour faire une horloge, il faut être capable de prédire les instants où les gouttes se détachent. Pour ce faire, on part du bilan thermique sur le glaçon (eq4), et l'on discrétise l'équation.

On note \(\Delta t_n\) l'intervalle de temps entre le détachement de la goutte \(n\) et la goutte \((n-1)\) et \(\Delta V\) la variation de volume de glaçon pendant ce temps. En supposant que sur cette courte durée la surface du glaçon reste constante égale à \(S_n\) (ce qui est une bonne approximation tant que le glaçon est beaucoup plus grand que la goutte), on peut réécrire l'équation (eq4) sous la forme :

$$ \rho L_{fus} \displaystyle\left\lvert {\frac{\Delta V} {\Delta t_n}}\right\rvert = h S_n \Delta T~~~~\color{gray}{(eq6)} $$

Or \(\Delta V\) = \(V_g\), ainsi :

$$ \Delta t_n = {\frac{\rho L_{fus} V_g}{h S_n \Delta T }}~~~~\color{gray}{(eq7)} $$

Dans le cas d'un glaçon sphérique de rayon \(R_n\), de volume \(V_n\) = \(\frac{4}{3}\pi R^3_n\) et de surface \(S_n\) = 4\(\pi R^2_n\), on trouve que \(S_n\) = \( (36 \pi)^{1/3} V^{2/3}_n \).

Or en toute généralité, le volume d'un glaçon après le détachement de \(n\) gouttes est \(V_n\) = \(V_0 - n V_g\), avec \(V_0\) le volume initial. Ainsi, on trouve que pour un glaçon sphérique :

$$ \Delta t_n = {\frac{\rho L_{fus} V_g}{h \Delta T (36 \pi)^{1/3} (V_0 - n V_g)^{2/3}}}~~~~\color{gray}{(eq8)} $$

On peut voir, sur la figure 10, les instants de détachement de gouttes (en haut) et l'intervalle de temps entre deux gouttes (en bas). Les points rouges sont les données expérimentales, le faisceau gris correspond aux valeurs prédites par le modèle à l'incertitude sur le cœfficient de convection thermique près. Le modèle fonctionne relativement bien entre la 10^e et la 50^e goutte, à quelques imprécisions de mesure notamment sur les intervalles de temps entre deux gouttes. Le modèle semble alors corroborer avec les résultats expérimentaux dans le régime intermédiaire, en dehors du régime transitoire du départ et du régime où le glaçon et les gouttes sont de tailles similaires.

Figure 10.  En rouge : instants de détachement des gouttes (en haut) et intervalles de temps entre deux gouttes (en bas) en fonction du numéro de la goutte pour un glaçon sphérique. En gris : comparaison avec le modèle de l'équation (eq8)

Dans le cas du glaçon sphérique, on observe un ralentissement du détachement des gouttes quand le volume du glaçon devient comparable à celui des gouttes. Ce ralentissement se manifeste car la surface d'échange entre le glaçon et l'huile diminue.

Pour minimiser cet effet, on peut prendre de gros glaçons, de sorte que la condition \( V_n \gg V_g \) reste valable plus longtemps.

Mais pour faire une horloge avec une fréquence de détachements de gouttes constante, on voit en équation (eq7) qu'il faut avoir \( S_n \) constant. Pour cela, nous avons préparé un glaçon cylindrique, entouré par un isolant, de sorte que la surface en contact avec le liquide soit constante tout au long de l'expérience, figure 11.

Figure 11.  Schéma d'un glaçon cylindrique à surface constante. Une surface circulaire est en contact avec l'huile, tandis que le reste du glaçon est entouré d'un isolant

De plus, comme on a \( \Delta t_n \varpropto \Delta T^{-1}\), il faut ainsi faire en sorte que la variation de température reste bien constante. Pour cela, il faut que les gouttes ne refroidissent pas (ou le moins possible) l'huile. Pour cela, nous avons travaillé avec un grand volume d'huile, et ajouté un volume d'eau sous l'huile du dessous, jouant le rôle de bain thermique.

Un autre de nos objectifs était aussi de maximiser la durée de vie de l'horloge. Cette fois encore, il convient de prendre de gros glaçons et aussi de diminuer \( \Delta T\). Ainsi, nous avons réalisé notre dernière expérience dans un réfrigérateur tel que \( \Delta T\) = 7 K. Les résultats sont présentéss sur la figure 12. Comme dans le cas du glaçon sphérique, notre modèle explique bien les données expérimentales en dehors d'un régime transitoire sur les quelques premières gouttes et le régime où le détachement ralentit fortement sur les 20 dernières gouttes, car le glaçon devient petit et nous sortons de nos hypothèses. Entre les deux, on voit que la fréquence de détachement des gouttes oscille, à une fréquence qui correspond aux cycles de refroidissement du réfrigérateur. Néanmoins, on voit bien sur la figure du haut que nous avons été capable de réaliser une horloge ayant une relation nombre de gouttes-temps écoulé linéaire pendant plus de 10 heures.

Figure 12.  En rouge : instants de détachement des gouttes (en haut) et intervalles de temps entre deux gouttes (en bas) en fonction du numéro de la goutte pour un glaçon sphérique. En gris : comparaison avec le modèle de l'équation (eq7)