Onde sonore sur film de savon

Une onde sonore est une onde mécanique progressive. Une onde mécanique progressive est la propagation d’une perturbation de proche en proche avec transport d’énergie mais sans transport de matière. Elle a besoin nécessairement d’un milieu matériel pour se propager.

Les ondes sonores se propagent dans toutes les directions de l’espace, on parle ainsi d’ondes à trois dimensions.

Dans les conditions normales de température (20°C) et de pression (1 atm) la vitesse du son dans l’air est d’environ ​340 m.s^-1​.

L’onde sonore est caractérisée par une onde longitudinale, figure 1. En effet, la direction du mouvement des éléments du milieu (air…) est parallèle à la direction de propagation de l’onde.

Figure 1.  Schématisation de la formation d’une onde longitudinale le long d’un ressort

Source : manuel de Terminale S, Nathan.

Les ondes sonores se propagent par suite de compressions et de dilatations du milieu de propagation (air…), figure 2.

Figure 2.  Mouvement d'un milieu lors de la propagation d'une onde sonore

Source : https://propagationduson.weebly.com/

En physique, on dit que l’oreille humaine distingue soit le son (caractérisé par une courbe périodique), soit le bruit (matérialisé par une courbe non périodique), figure 3. Ainsi, un son musical est une sensation auditive due aux vibrations du milieu de propagation de l’onde acoustique par une suite de compressions et de dilatations.

Figure 3.  Caractérisation d'un son et d'un bruit

Source : http://slideplayer.fr/slide/521107/

Le domaine de fréquences des ondes sonores perceptibles par l’être humain est compris entre 20 et 20 000 Hertz. Les sons de petites fréquences sont graves, ceux de fréquences élevées sont aigüs, figure 4.

Figure 4.  Échelle des fréquences

Source : Ministère de la communauté française, Périodique trimestriel N°17, février 2005, page 29.

Un son est caractérisé par sa hauteur, c’est-à-dire la fréquence de l’onde sonore et donc de son fondamental.

Le son est dit pur quand il a une courbe représentative qui est sinusoïdale, c’est à dire qu’il n’a pas d’harmoniques mais seulement un fondamental. À l’inverse, la voix et les instruments de musique, produisent des ondes également périodiques mais non sinusoïdales. Le son est alors dit complexe, il correspond à la superposition de plusieurs ondes sinusoïdales, figure 5.

Figure 5.  Oscillogrammes et spectres d’un son pur sinusoïdal (haut) et d’un son complexe issu d'une clarinette (bas)

Le spectre fait apparaître les fréquences des harmoniques avec leur amplitude relative ce qui constitue le timbre d'un son.

Une onde capillaire est une onde élastique qui se propage uniquement à la surface d’un matériau élastique, le film savonneux.

La propagation des ondes de surface, que ce soit pour des courtes ou des grandes longueurs d’ondes, est soumise à la tension superficielle. Cette tension superficielle est négligeable pour les grandes longueurs d’ondes. En revanche, pour les courtes longueurs d’ondes (de l’ordre du centimètre et une amplitude de l’ordre du millimètre), la tension superficielle domine la propagation des ondes de surface et engendre la création d’ondes appelées rides capillaires.

Générée sous la force acoustique et par les vibrations de l’air dans le tube qui imposent un mouvement transversal, l’onde capillaire est une onde vibratoire transversale qui se propage le long de la membrane liquide du film savonneux.

Les ondes se reflètent aux limites du film et en son centre. En raison de la symétrie axiale du tube, ceci conduit à l’apparition de cercles concentriques correspondants à une onde stationnaire. La fonction mathématique de cette onde correspond au profil de Bessel, figure 15.

Figure 15.  Représentation de l'intensité de l'onde capillaire

Ces ondes capillaires apparaissent de manière amplifiée pour certaines fréquences, appelées fréquences de résonance du tuyau, que nous allons mettre en évidence à l’aide du dispositif de Kundt, figure 16.

Le tube de Kundt, du nom de son inventeur August Kundt, est également appelé appareil à ondes stationnaires. C’est un simple tube en plexiglas qui peut être ouvert (comme dans nos expériences) ou fermé, long ou court. Ce dispositif permet de mettre en évidence les ondes stationnaires sonores dans un tube rempli d’air.

Figure 16.  Schéma du tube de Kundt

L’onde issue du haut-parleur et celle réfléchie à l’extrémité se superposent et forment une onde stationnaire.

L'onde stationnaire est la superposition de deux ondes progressives de même fréquence mais de sens de propagation opposé dans le même milieu physique : l’air. La propagation simultanée de plusieurs ondes forme alors une figure dont certains éléments sont fixes dans le temps. Ainsi, au lieu de voir une onde qui se propage, on constate une vibration stationnaire mais d'intensité différente, en chaque point observé. Les points d’amplitude maximale sont les ventres de vibration et les points fixes sont les noeuds de vibration, figure 17.

Figure 17.  Représentation d'une onde stationnaire

On pourra consulter la vidéo de La physique animée sur la mise en évidence expérimentale d'ondes stationnaire , à l'aide du tube de Rubens.

Seules certaines fréquences permettent d’observer le phénomène de résonance. Nous avons déterminé ces fréquences en recherchant l’apparition d'ondes capillaires sur la bulle. Nous avons obtenu les valeurs suivantes :

La première fréquence de résonance mesurable dans de bonnes conditions correspond à la 3^ème harmonique.

$L=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{3}{2}\lambda$ $L=\lambda$   $L=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{1}{2}\lambda$

$f_3=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{\nu }{\lambda }=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{3\nu }{2L}$ $f_2=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{\nu }{\lambda }=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{2\nu }{2L}$ $f_1=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{\nu }{\lambda }=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{\nu }{2L}$

Ainsi, les fréquence de résonance correspondent à $f_{\mathrm{n}}=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{\mathrm{n}\nu }{2L}$ où n est un nombre entier naturel, ν est la vitesse de propagation de l’onde mécanique, L la longueur. Dans les conditions de température (23°C) et de pression, on a ν = 343 m/s

Nous remarquons que les valeurs théoriques ne correspondent pas totalement à nos mesures. Nous avons essayé d’identifier la cause ci-dessous.

À l’aide d’un logiciel appelé SalsaJ (qui permet des mesures sur photos à l’échelle), nous avons pu déterminer la longueur d’onde associée à une fréquence de résonance : en effet il existe un lien entre la longueur d'onde des ondes capillaires et la fréquence de résonance. Pour se faire nous avons suivi le protocole suivant :

Figure 18.  Photographies des ondes capillaires pour différentes fréquences d'excitation

D’après la thèse « Sound and vision : visualization of music with a soap film » de Camille Gaulon (doctorante en acoustique physique), la célérité ν a pour formule l’équation suivante :

$\nu ={\lambda }_f\times f$

Soit : ${\lambda }_f\times f=\sqrt{\genfrac{}{}{0.1ex}{}{2\gamma }{{\rho }_{eau}\times e+{\rho }_{air}\times \genfrac{}{}{0.1ex}{}{\lambda }{\pi }}}$

Donc :

$f=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{\sqrt{\genfrac{}{}{0.1ex}{}{2\gamma }{{\rho }_{eau}\times e+{\rho }_{air}\times \genfrac{}{}{0.1ex}{}{\lambda }{\pi }}}}{{\lambda }_f}$

Avec, dans les conditions de température et de pression, la tension superficielle γ = 35 mN/m ; la densité de l’eau ρ_eau = 997 kg/m³ ; la densité de l’air ρ_air = 1,204 kg/m³ ; l’épaisseur du film e = 0,8 µm.

Figure 18, dans le premier cas, nous avons mesuré une longueur d’onde de λ = 0,90 cm = 0,90.10^-2 m pour 470 Hz imposés avec le GBF.

$f$ = 451 Hz

Nous avons répété ce calcul pour les autres photos.

Figure 19.  Représentation de la fréquence de résonance du tube en fonction de la longueur d'onde des ondes capillaires

On observe une bonne concordance entre les valeurs expérimentales et théoriques, figure 19.

Nous avons échangé avec Camille Gaulon qui nous a orienté sur une amélioration de la formule des fréquences de résonance. En effet, il existe un facteur de correction C comme indiqué ci-dessous :

$f_n=n\times \genfrac{}{}{0.1ex}{}{\nu }{2(L+2C)}$

Ici, n est un nombre entier naturel représentant l’harmonique de rang n, ν = 343 m/s la célérité du son dans l’air, L la longueur du tube égale à 1,05 m.

Cette relation permet de calculer la fréquence de résonance en prenant compte du facteur de correction C, en mètre, permettant de faire le lien entre les valeurs théoriques et les valeurs trouvées. Ce facteur de correction prend en compte, entre autres, le diamètre D du tuyau. La relation trouvée dans la littérature^[1] est C = 0,4×D.

Ainsi, dans notre expérience C = 0,4 × 50 mm = 0,2 cm.

Nous remarquons que, grâce à ce facteur de correction, nous nous approchons des valeurs expérimentales trouvées.

Par la suite, nous pourrions réaliser la même expérience mais avec un tuyau de même diamètre mais de longueur différente pour vérifier que l’introduction de ce facteur de correction entraîne une meilleure prévision des valeurs des fréquences de résonance.

Cette démarche expérimentale nous a permis de montrer le lien entre la longueur d’onde d’une onde de surface et la fréquence d’un son dans le tuyau. Nous nous sommes demandées si l’on pouvait utiliser ce phénomène dans un cas pratique : accorder un instrument de musique avec les yeux.