Le football et ses trajectoires

Les jeux de balles nous accompagnent depuis au moins 3 500 ans [1]. Ils font partie de notre évolution et nous les retrouvons sur tous les continents : Tsu Chu en Chine, Kemari au Japon, Episkiros en Grèce, Pok a tok en Amérique du Sud. Une de leurs versions contemporaines est le football. Il se pratique à deux équipes de onze joueurs, avec un ballon rond de 450 g et 22 cm de diamètre, et sur un terrain d'une centaine de mètres, dont les dimensions précises sont indiquées sur la figure 1.

Figure 1.  Le terrain de football et ses dimensions

Les études sur la physique du football portent principalement sur la mécanique et la statistique. Les pionniers en statistique sont Reep et Benjamin [2], qui étudient la probabilité de perdre le ballon en fonction du nombre de passes. Cette étude est à l'origine du jeu long pratiqué par certaines équipes, à commencer par la Norvège lorsque Charles Reep deviendra conseiller technique de l'équipe nationale. Côté mécanique, on s'est intéressé essentiellement aux trajectoires et aux impacts [3]. Nous discutons ici les différents types de trajectoires et leur origine physique.

Lorsque le ballon est frappé, les forces qui déterminent sa trajectoires sont son poids et les forces aérodynamiques : la force de traînée, alignée avec la vitesse et la force de portance, perpendiculaire à la vitesse [4][5].

Nous proposons ici quelques rappels sur les origines physiques de la traînée et de la portance.

1.1 Origine physique de la traînée

Lorsque le ballon se déplace (sans mouvement de rotation) à la vitesse \(\mathsf{U}\) dans l'air, il subit des forces de frottement de l'air et "rencontre" une différence de pression entre l'amont (forte pression) et l'aval (faible pression). La force de traînée augmente avec la séparation de l'écoulement, c'est-à-dire lorsque les lignes de champs se détachent derrière le ballon, créant une zone de recirculation, espace de faible pression, figure 2.

Figure 2.  Écoulement de l'air autour du ballon se déplaçant à une vitesse U, sans mouvement de rotation

On peut estimer la force de traînée en considérant la mise en mouvement de l'air chassé par le ballon, lorsqu'il se déplace d'un diamètre 2\(\mathsf{R}\) (avec \(\mathsf{R}\) le rayon du ballon). La masse d'air déplacée lors de ce mouvement est de l'ordre de \( \rho \mathsf{R^3}\) (où \( \rho\) est la masse volumique de l'air), et passe d'une vitesse nulle à quasiment la vitesse du ballon, d'où \(\Delta u \approx \mathsf{U}\) sur un temps \( \Delta t \approx \frac{\mathsf{R}}{\mathsf{U}}\).

Cela conduit à l'expression de la force de traînée : \( \mathbf{F_{traînée}} \sim \rho \mathsf{R^2 U^2}\)

1.2 Origine physique de la portance

La portance est liée à la distribution de pression autour d'un objet [6]. Un corps symétrique (comme un ballon) ne génère pas portance.

C'est justement la rotation du ballon qui va créer la force de portance.

Lorsque le ballon tourne avec la vitesse angulaire \( \omega\), l'écoulement derrière le ballon n'est plus symmétrique. La rotation implique que l'air est accéléré d'un côté, ce qui fait apparaître une force perpendiculaire à l'écoulement, dite « force de Magnus ». Pour trouver son expression, on raisonne comme précédemment, en considérant cette fois la variation de vitesse dans la direction perpendiculaire à l'écoulement :

La masse m d'air passe d'une vitesse nulle à quasiment la vitesse de rotation du ballon : \(\Delta u \approx \mathsf{R} \omega \).

D'où la force de portance : \( \mathbf{F_{portance}} \sim \frac{m \Delta U}{\Delta t} \sim \rho \mathsf{R^3} \omega \mathsf{U}\)

Figure 3.  Écoulement de l'air autour d'un ballon se déplaçant à une vitesse U avec rotation

Pour un ballon de masse \(M\) et dont le centre d'inertie est animé par une vitesse \(\mathsf{U}\), l'équation générale de la trajectoire est :

$$ M \frac{ d\mathsf{\mathbf{U}}}{dt} = \mathbf{F_{gravité}} + \mathbf{F_{traînée}} + \mathbf{F_{portance}}~~~~\color{gray}{(eq1)} $$

Nous allons analyser l'équation en identifiant différents régimes caractérisés, chacun, par une trajectoire particulière.

Figure 4.  Différentes trajectoires en fonction des forces dominantes a) La gravité domine, b) La traînée domine sur la gravité et absence de rotation du ballon, c) Les forces aérodynamiques dominent sur la gravité.

On peut résumer ces résultats sous la forme d'un diagramme de phase. Pour cela, nous mesurons l'importance relative des forces avec deux nombres sans dimension :

Sur la figure 5, nous utilisons ces deux nombres pour définir le diagramme de phase et représenter les différentes trajectoires.

Figure 5.  Diagramme de phase des différentes trajectoires observées au football (a) Lorsque la gravité domine (\(D_{r}\) << 1), les trajectoires sont paraboliques. C'est le régime des touches, illustré ici par Rory Delap, joueur irlandais connu pour faire des touches aussi longues que des corners. (b) À plus grande vitesse et en l'absence de rotation (\(D_{r}\) >> 1, \(S_{p}\) << 1), on observe des trajectoires rectilignes, en zigzag, voire en paraboles tronquées. Ce régime est illustré ici par Clarence Seedorf, footballeur néerlandais connu pour la puissance de ses tirs. (c) Enfin, lorsque l'aérodynamique domine et que le ballon tourne (\(D_{r}\) >> 1, \(S_{p}\) >> 1), on observe des trajectoires courbées, comme dans les fameux coups francs de Platini ou ici de Roberto Carlos.

On s'intéresse ici aux grosses frappes sans rotation, où (\(D_{r}\) >> 1 et \(S_{p}\) << 1). Dans cette limite, seule la force de traînée \( \mathbf{F_{traînée}} \sim \rho \mathsf{R^2 U^2}\) influence la trajectoire du ballon.

Ici, \(\rho\) ≈ 1,2 kg/m³ est la masse volumique de l'air, tandis que R = 0,11 m est le rayon du ballon et U sa vitesse.

Cette force aérodynamique devient supérieure au poids au-delà de la vitesse critique U^* ≈ 20 m/s. Le tableau de la figure 6 indique des vitesses enregistrées en match lors de grosses frappes.

Figure 6.  Vitesses de ballon enregistrées lors de grosses frappes

Ces vitesses sont supérieures à 38 m/s, ce qui correspond bien au domaine aérodynamique.

La force de traînée étant alignée avec la vitesse, on déduit de l'équation (eq1) que la trajectoire est une droite.

L'équation de mouvement peut s'écrire :

$$ M \big( 1 + C_M \frac{\rho}{\rho_b} \big) U \frac{dU}{ds} = - \frac{1}{2} \rho U^2 \pi R^2 C_x $$

Dans cette équation \(C_M\) est un coefficient de masse ajouté qui est égal, dans le cas d'une sphère à \(\frac{1}{2}\) et est indépendant de la vitesse U et \(C_x\) le coefficient de traînée : \(C_x \approx\) 0,4 (figure 7).

Figure 7.  Le coefficient de traînée d'une sphère Source : Bernard de Go Mars, Wikimedia

De façon plus précise, cette équation s'intègre en posant \(U(s=0) = U_0 \) et l'on montre que la vitesse décroît exponentiellement avec l'abscisse curviligne \(s\) suivant la loi :

$$ U (s) = U_0 \exp{- \frac{s}{l_c} }$$

\(l_c\) étant la longueur caractéristique de freinage :

$$ l_c = 7 \frac{\rho_b}{\rho} R ~~~~\color{gray}{(eq2)} $$

Avec \(\rho_b\) = 81 kg/m³, la masse volumique du ballon et le facteur 7 est la valeur donnée par le calcul pour nos gammes de vitesses et de tailles. La longueur \(l_c\) est ainsi de l'ordre de 50 m pour le football.

Tant que \(U (s) >U^*\) (typiquement jusqu'à \(\ s \sim l_c \approx\) 50 m ), les grosses frappes sont donc sensées suivre des lignes droites.

On présente sur la figure 8 des trajectoires de ballon pour U₀ ≈ 28 m/s : l'écoulement d'air autour du ballon est visualisé en recouvrant la balle d'une poudre de tétrachlorure de titane (Hong et al. [7]).

Dans ces clichés, les petites bouffées révèlent la structure tourbillonnaire complexe à l'aval du ballon et montrent que la trajectoire reste effectivement une quasi-ligne droite (a), mais qu'elle peut parfois zigzaguer autour de cette droite (b). On observe aussi sur la figure 8b que la taille du zigzag est grande comparée à la distance qui sépare deux vortex. Cette séparation d'échelles indique que l'origine du zigzag (aussi observé au volley et au baseball) n'est pas un simple couplage entre le ballon et les tourbillons émis dans son sillage. Son origine physique est encore débattue, mais il semble que la transition turbulente de la couche limite joue un rôle essentiel [3].

Figure 8.  Trajectoires de ballons de football Observations par Hong et al. pour U0 ≈ 28 m/s - Unsteady Aerodynamic Force on a Knuckleball in Soccer, [7]. (a) ligne droite ; (b) zigzags. Sur ces clichés, le ballon va de droite à gauche.

Lorsque la distance parcourue par le ballon est supérieure à la distance de freinage \(l_c\), la vitesse du ballon diminue et la gravité ne peut plus être négligée dès lors que la vitesse du ballon devient inférieure à U^*. Cette situation se rencontre lors des dégagements des gardiens de but (figure 9a).

Sous cette hypothèse, nous avons intégré numériquement l'équation (eq1), en prenant en compte la force de traînée et la force de gravité. Les trajectoires obtenues pour deux angles initiaux différents (45° et 37°) avec \(l_c\) = 54 m et U₀ = 45 m/s sont présentées sur la figure 9b.

Figure 9.  Trajectoires de dégagements (a) Les dégagements des gardiens de but (ici, Steve Mandanda) dépassent en général de peu le milieu de terrain, et sont caractérisés par une courbe en cloche fortement asymétrique par rapport à leur apogée. (b) Trajectoires du ballon avec gravité et freinage aérodynamique (trait plein) et avec la gravité seule (pointillés). La vitesse initiale est de U0 = 45 m/s, l'angle initial est 45° pour le trait épais et 37° pour la trajectoire la plus longue (trait mince). Pour ces deux cas, \(l_c\) = 54 m. Source de la photo : http://fansdemarseille.centerblog.net/6-steve-mandanda.

On observe ici un écart important avec la parabole galiléenne : quand on atteint la longueur \(l_c\), l'inertie du ballon ne compte plus, si bien qu'il retombe presque verticalement. On voit aussi que l'angle qui maximise la distance n'est plus 45° mais 37°. Cet angle optimal varie avec \(l_c\) et U₀.

Nous retenons des deux sections précédentes que, dans la limite des grandes vitesses ( U₀ >> U^*), la gravité peut être négligée, et la trajectoire est rectiligne sur des distances petites devant \(l_c\). Ceci est vrai en l'absence de rotation.

Avec rotation, Le ballon subit aussi la force de Magnus :

$$ \mathbf{F_{portance}} \sim \rho \mathsf{R^3 \omega_0 \wedge U} $$

où \(\omega_0\) est le vecteur rotation.

Cette force, perpendiculaire à la vitesse, dévie le ballon de la ligne droite. Plus précisément, la courbure locale de la trajectoire \(C(s)\) évolue suivant l'équation :

$$M U^2 C(s) = \mathbf{F_{portance}}$$

En utilisant l'expression de la force de portance et en prenant en compte la décroissance exponentielle de la vitesse, cette équation indique que la courbure de la trajectoire augmente à partir de l'impact suivant la loi :

$$C(s) \sim \frac{\omega_0}{U_0} \exp{\frac{s}{l_c}} ~~~~\color{gray}{(eq3)}$$

Cette trajectoire (étudiée en détail par Dupeux et al. [8]), nous ne discutons ici que ses implications pour le football. L'équation (eq3) montre que la trajectoire est une spirale dont la courbure initiale \(C_0 \sim \frac{\rho \omega_0}{\rho_b U_0} \) augmente exponentiellement sur la longueur de freinage \(l_c\).

Nous discutons sur la figure 10 la possibilité d'observer cette spirale dans le cas de trois coups de pied arrêtés. À l'échelle du penalty (figure 10a), la distance de 11 m est petite comparée à la taille de la spirale, et seul le début rectiligne de la trajectoire est observable.

Figure 10.  Trois types de coups de pied arrêtés (a) Penalty à 11 m ; (b) coup franc « aux 18 mètres » ; (c) coup franc lointain.

Pour un coup franc aux 18 m (figure 10b), le cœur de la spirale n'est pas accessible, mais la trajectoire est courbée et on peut l'estimer par un cercle de courbure \(C_0\). Pour un coup franc lointain (figure 10c), la trajectoire courbée dévie du cercle et l'augmentation de courbure devient observable.

Selon nous, cette augmentation est à l'origine de la trajectoire surprenante observée lors du coup franc de Roberto Carlos tiré contre la France en 1997 [9]. Ce coup franc est schématisé sur la figure 11. Il est tiré des 35 mètres à une vitesse U₀ = 38 m/s et un angle initial \(\alpha\) de l'ordre de 12°. Du fait de la rotation (\(\omega_0\) ≈ 88 rad/s ≈ 15 tours par seconde), la trajectoire du ballon s'incurve et finit par entrer dans le but sans que le gardien bouge (courbe bleue).

Sans rotation, le ballon sortirait de 4 mètres (pointillés). Avec une trajectoire circulaire, le ballon manque la cage de 80 centimètres (tirets violets). Du fait de la spirale, le ballon s'écarte de la trajectoire circulaire dans les derniers mètres qui le séparent du poteau et finit par entrer, à la surprise générale.

Dans le cas du coup franc de Roberto Carlos, l'axe de rotation est vertical et le ballon dévie horizontalement vers la gauche, ce qui lui permet de contourner le mur. Un autre type de coup franc est celui où le tireur décide de faire passer le ballon par-dessus le mur et de le faire plonger ensuite. Pour cela, il choisit un axe de rotation horizontal et fait tourner le ballon de telle sorte que son sommet aille vers l'avant (tel un lift au ping-pong). Ce type de coup franc est rare, car il demande un petit pied, suffisamment petit pour passer sous le ballon et le brosser. Un des derniers grands maîtres capables de réaliser ce geste est Juninho Pernambucano.

Figure 11.  Coup franc de Roberto Carlos, tiré contre la France en 1997 On détaille ici le coup franc présenté sur la figure 5c. La trajectoire bleue est calculée à partir de l'équation (3), avec U0 = 38 m/s et \(\omega_0\) ≈ 88 rad/s. La trajectoire violette est le cercle de courbure \(C_0\), et le trait pointillé vert indique la trajectoire rectiligne.

Gravité et aérodynamique sont responsables de la diversité des trajectoires du ballon de football. À faible vitesse (touche, lob), la gravité domine et seule la parabole galiléenne est observée. À forte vitesse (penalty, coup franc, tir tendu), l'aérodynamique devient prépondérante et la trajectoire se met à dépendre de la rotation du ballon. Sans rotation, celui-ci va tout droit ou zigzague, suivant la nature laminaire ou turbulente de sa couche limite. Cette trajectoire quasi-rectiligne perdure, jusqu'à ce que le ballon soit suffisamment ralenti pour que la gravité le fasse tomber, donnant lieu à des paraboles tronquées. Le dernier régime est celui des ballons en rotation qui conduit à des cercles, voire à des morceaux de spirale lorsque la distance parcourue est suffisament grande.

De la même manière il est possible de s'intéresser à d'autres sports de balles mettant en jeu, d'autres tailles (\(\mathsf{R}\)), rapports de densités (\(\frac{\rho_b}{\rho}\)), vitesses maximales (U₀), paramètre de rotation (\(\omega_0\)) et taille du terrain (\(L\)), figure 12 [8].

Figure 12.  Spécificités pour différents sports Les trois premiers sports sont dominés par les forces aérodynamiques (\(\frac{U_0^2}{g} >> l_c \)). Pour les deux derniers sports, la gravité domine (\(l_c >> \frac{U_0^2}{g}\)). Source : The spinning ball spiral, G. Dupeux, A. Le Goff, D. Quéré et C. Clanet, New Journal of Physics 12 (2010) 093004 [8].

À l'aide de ces données, on peut trouver pour chacun des sports la longueur caractéristique de freinage \(l_c\) et l'échelle caractéristique relative à la gravité \(\frac{U_0^2}{g}\). En comparant ces deux grandeurs, on peut identifier les sports dominés par les forces aérodynamiques (tennis de table, golf et tennis) des sports dominés par la gravité (basketball et handball). Entre ces deux catégories, on trouve les sports pour lesquels les forces aérodynamiques et la gravité jouent un rôle comparable (football, volleyball et baseball). On notera aussi que dans la première catégorie de sport, la rotation est systématique appliquée à la balle, alors que cet emploi est effectué occasionnellement dans la denière catégorie, justement pour produire des trajectoires surprenantes.

On peut retrouver cet article dans sa version première, dans la revue de la Société Française de Physique « Reflets de la physique ».