Quelle est la hauteur maximale à laquelle un hélicoptère de secourisme peut voler ?

Pour résoudre ce problème, nous ferons différentes hypothèses :

Figure 2.  Schéma en coupe d'une pale d'hélicoptère

Nous prenons les valeurs suivantes pour la modélisation de l'air :

Pour la modélisation des pales de l'hélicoptère, nous choisissons les données correspondant au modèle H145 d'Airbus.

On considère les pales comme décrites par des parallélépidèdes rectangles, qui sont en rotation à une vitesse angulaire \(\omega\). Cela crée un vent relatif (de vitesse \(U\)) dans le référentiel des pales, et donc une force de portance, dans un régime à haut nombre de Reynolds.

On rappelle que le nombre de Reynolds est défini comme le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. Ici, on a :

$$ R_e = \frac{U l_p \rho_{air}}{\eta_{air}} $$

On trouve un ordre de grandeur de \(R_e \approx\) 10⁶.

La force de portance est dans un permier temps calculée sur une seule pale. Elle évolue de manière quadratique avec la vitesse. La vitesse n'étant pas constante sur toute la longueur de la pale (en effet, proche du rotor elle est beaucoup plus faible que de la vitesse d'un point en bout de pale), on calcule alors une vitesse moyenne sur la longueur de la pale.

Pour un élément infinitésimal de surface \(dS = ldr\), à une altitude \(z\) donnée, on a : :

$$ dF(z) = \frac{1}{2} \rho(z) \omega^2 r^2 l C_z(\alpha) dr $$

On en déduit, en intégrant pour r allant de 0 à \(Rp\), la norme de la force de portance moyenne qui s’exerce sur une pale pour une altitude \(z\) :

$$ F(z) = \frac{1}{6} \rho(z) \omega^2 R_p^3 l_{p} C_z(\alpha) ~~~~~~~~~~\big(Eq1\big)$$

Avec \(\rho (z)\) la masse volumique de l'air qui dépend de l'altitude de l'hélicoptère.

On a maintenant besoin de connaître la dépendance de la masse volumique de l'air en fonction de l'altitude \(\rho (z)\) pour évaluer l'altitude à laquelle la force de portance ne compense plus le poids l'hélicoptère.

La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

$$ \frac{dP(z)}{dz} = - \rho(z) ~ g ~~~~~~~~~~\big(Eq2\big)$$

Nous considérons que l'atmosphère est isotherme à la température \(T_0\) et supposons que l'air est un gaz parfait. La relation des gaz parfaits pour un volume \(V\) donne :

$$ P(z) V = n(z) R T_0 $$

soit

$$ P(z) = \frac{R T_0}{M_{air}} \rho(z) $$

En dérivant selon \(z\) et en utilisant (Eq2), on obtient :

$$ - \rho(z) g = \frac{R T_0}{M_{air}} \frac{d\rho(z)}{dz} $$

En posant \(H = \frac{R T_0 }{M_{air} g} \) on obtient :

$$ \frac{d\rho(z)}{dz} + \frac{1}{H} \rho(z) = 0 $$

On en déduit finalement :

$$ \rho(z) = \rho_0 \exp{ \left( \frac{-z}{H} \right)} $$

où \(\rho_0\) correspond à la masse volumique de l'air au niveau de la mer.

En utilisant (Eq1) et en appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'hélicoptère à l'équilibre (pour \(z_c\)), on a la force de portance qui égale le poids de l'hélicoptère :

$$ F(z_c) = M g $$

Soit :

$$ \frac{n_{pales}}{6} \rho_0 \exp{ \left( \frac{-z_c}{H} \right)} \omega^2 R_p^3 l_p C_z (\alpha) = M g $$

Ce qui donne l'altitude critique \(z_c\) :

$$ z_c = H \ln \Biggl( \frac{n_{pales}\rho_0 \big(\frac{2}{3} c_{son}\big)^2 R_p^3 l_p C_z (\alpha)}{6 M g} \Biggl) $$

À l'aide des valeurs numériques données plus haut, on trouve : \(z_c \approx\) 7 073 m