La Terre est un peu aplatie : comment Newton calcule l’aplatissement « sans sortir de chez lui »

La rotation de la Terre autour de son axe en 23 h 56 min (dans le référentiel quasi-inertiel des étoiles) engendre une force centrifuge (on dit parfois axifuge) proportionnelle au carré de la vitesse angulaire de rotation ω et à la distance à l'axe, et dirigée perpendiculairement à l'axe (figure 1).

Figure 1.  Champ de vecteurs de l'accélération centrifuge dans la Terre vue en coupe La forme mathématique est $\overrightarrow{a_c}={\omega }^2\left(x,y\mathrm{,0}\right)$ où x, y sont les coordonnées cartésiennes sur les axes situés dans le plan équatorial de la Terre. L'axe z est l'axe de rotation.

On appelle pesanteur $\overrightarrow{\gamma }$ la somme de l'attraction de la Terre (gravité) $\overrightarrow{g}$ et de l'accélération centrifuge $\overrightarrow{a_c}$ :

La force centrifuge tend à éloigner l'équateur du centre et, par conservation de la masse, à en rapprocher les pôles. Ainsi la longueur a des axes équatoriaux est plus grande que celle de l'axe polaire c (figure 2). On appelle alors aplatissement (ou ellipticité) la différence relative de ces axes :

Figure 2.  Aplatissement de la Terre a et c sont les demi grand axe et demi petit axe de la Terre, ds est un élément de longueur d'arc de méridien correspondant à l'élément de variation de latitude[a] dφ.

[a] La latitude indiquée ici est la latitude géographique, angle entre la verticale du lieu et le plan équatorial (alors que la latitude géocentrique est l'angle entre le plan équatorial et la droite passant par le lieu et le centre de la Terre). Mesurer un arc de méridien revient à mesurer la distance parcourue sur le méridien pour faire basculer la verticale du lieu d'une valeur déterminée. Sur une Terre ellipsoïde de révolution aplatie aux pôles, et donc sur un méridien elliptique, la "bascule" de la verticale pour un déplacement dS est plus importante à basse latitude (vers l'équateur) qu'à haute latitude (vers le pôle).

Un ordre de grandeur de cet aplatissement peut facilement être estimé. En supposant une théorie linéaire, l'aplatissement est proportionnel à la force qui lui donne naissance, c'est-à-dire à l'accélération centrifuge à l'équateur ω²a. Pour obtenir un nombre sans dimension, comme ε, il faut forcément diviser par une autre accélération, qui ne peut être ici que la pesanteur (à l'équateur par exemple). Avec ω=7,29 × 10^-5 rad/s, a = 6378 km, γ_éq= 9,78 m/s² (pesanteur à l'équateur), on a donc en ordre de grandeur :

Du fait de cet aplatissement, les trois quantités suivantes varient avec la latitude φ^[a] (figure 2) :

Les deux dernières quantités sont observables, et ce sont les premières à avoir été mesurées, dès le XVII^e siècle, pour déterminer la forme de la Terre (voir les autres chapitres, notamment historiques, de ce dossier). La longueur d'un arc de méridien était déterminée, d'une part grâce à des mesures astronomiques pour l'angle d'arc, d'autre part par triangulation pour la longueur de l'arc à la surface de la Terre. La pesanteur était déterminée par la longueur du pendule (la période d'un pendule de longueur l et oscillant avec une faible amplitude est $2\pi \sqrt{l/\gamma }$). Cette longue histoire, de mesure et de théorie, de l'aplatissement de la Terre, a essentiellement débuté avec Newton en 1687. Nous allons essayer d'exposer sa théorie, très astucieuse.

Ce calcul est exposé dans la grande œuvre de Newton, les Principes mathématiques de la philosophie naturelle [1], publiés en latin en 1687, puis traduits en français par Émilie du Châtelet pour une publication en 1759 (figures 3 et 4).

Source - © 2004 Andrew Dunn – CC BY-SA 2.0 Figure 3.  Page de titre de la première édition des Principia (1687) Exemplaire du Trinity College à Cambridge, comprenant les notes manuscrites de Newton.

Source - © 2015 Frédéric Chambat Figure 4.  Page de titre de l'édition française des Principes, traduction de Mme du Châtelet (1759) Sur le côté, l'une des planches dépliantes de figures.

Dans ce calcul (livre III des Principes, propositions 18 et 19, p. 34 et suiv.), le premier trait de génie de Newton est d'utiliser le fait que la surface des océans est, à toutes les latitudes, à peu près au même niveau que la surface des continents. Dit autrement, les continents ne sont pas submergés pas les océans à l'équateur. C'est donc que les continents prennent la forme d'un fluide, qu'on qualifie de nos de jours d'hydrostatique. Prolongeant ce raisonnement, il suppose que l'ensemble de la Terre, y compris l'intérieur, prend la forme, ou a pris la forme dans le passé, d'un fluide. Il imagine alors deux canaux rectilignes partant du centre et allant, l'un jusqu'à l'équateur, l'autre jusqu'au pôle (figure 5). Les poids de ces deux canaux doivent s'équilibrer au centre. Or dans le canal équatorial, la pesanteur est moins grande que dans le canal polaire. D'une part parce qu'il y règne la force centrifuge, d'autre part parce que dans un ellipsoïde aplati la gravité est moindre à l'équateur qu'aux pôles. Il faut alors, pour équilibrer les poids, que le canal équatorial soit plus long que le canal polaire. Pour calculer la différence de longueur, Newton doit commencer par déterminer l'attraction dans chacun des canaux. C'est son second trait de génie, que nous exposons dans le calcul qui suit.

Figure 5.  Vue en coupe de la Terre, les canaux de Newton Fac similé de la Figure I, planche I, tome II des Principes Mathématiques. Les deux canaux, polaire et équatorial, AC et CQ, doivent se faire équilibre au centre.

Pour déterminer l'attraction aux pôles d'un ellipsoïde aplati, Newton commence par découper ce dernier en tranches très fines de latitude constante (figure 6). L'attraction d'une telle tranche, en forme de disque, n'est pas très compliquée à calculer. C'est maintenant devenu un exercice de base pour un étudiant en physique : il faut commencer par déterminer l'attraction d'un anneau circulaire situé à une distance d, puis sommer des anneaux pour faire un disque. On trouve ainsi, pour l'attraction élémentaire à distance z d'un disque de densité ρ, d'épaisseur dz et de rayon R :

Pour en déduire l'attraction au pôle, il faut sommer ces tranches, c'est-à-dire :

La fonction R(z) est, elle, donnée par le fait que le bord de la tranche est sur l'ellipse :

Figure 6.  Découpage d'un ellipsoïde en tranches latitudinales À gauche : vue en coupe de la géométrie du découpage de l'ellipsoïde en tranches (ligne rouge). À droite : vue en trois quarts de la géométrie d'une tranche. R est le rayon de la tranche, z est sa distance au pôle Nord.

La suite n'est plus qu'un calcul d'intégrale, un peu long mais sans réelle complication. Le calcul est rendu plus court si (ce que Newton a vraisemblablement fait) on utilise le fait que ε = (a−c)/a est petit. En effectuant un développement au premier ordre, on trouve alors que :

Le calcul de l'attraction à l'équateur relève d'une troisième prouesse, intuitive celle-ci, de Newton. L'attraction en un point de l'équateur est à priori plus difficile à calculer que celle au pôle, car les tranches de distance constante avec ce point ne sont pas des cercles mais des ellipses, de demi-axes a et c = a(1−ε). Newton comprend alors que l'attraction de cette ellipse sur son axe est la même que celle de son disque moyen, de rayon a' = (a+c)/2 = a(1−ε/2). On se retrouve alors dans le même cas que précédemment, la détermination de l'attraction d'un ellipsoïde de révolution, sur son axe de symétrie ! L'aplatissement est cette fois −ε/2. Il suffit alors d'utiliser le résultat précédent, et mutatis mutandis on obtient :

Maintenant que l'on connait la gravité au bout de chacun des deux canaux, il faut en déduire la gravité le long de ceux-ci. C'est la quatrième difficulté que surmonte Newton. Il a en effet démontré, dans une première partie de son ouvrage, l'un de ses grands théorèmes sur la gravitation : l'attraction à l'intérieur d'une coquille sphérique est nulle. Ce résultat l'amène à un autre, plus difficile et plus général (Principes, Livre I, prop. 91, cor. 3) : l'attraction à l'intérieur d'une coquille ellipsoïdale (c'est-à-dire bordée par deux ellipsoïdes homothétiques) est nulle. Mais, il a aussi démontré que « deux solides quelconques et homogènes » attirent des points « placés semblablement par rapport à eux [...] en raison directe de leurs dimensions semblables » (« Principes », Livre I, prop. 91, cor. 3), théorème assez évident quand on remarque qu'en faisant une proportion, la masse varie comme le cube de cette proportion et l'inverse du carré de la distance comme l'inverse du carré de la proportion. Ces deux résultats impliquent que l'attraction à l'intérieur d'un ellipsoïde homogène est une fonction linéaire des coordonnées cartésiennes. La gravité le long des axes s'écrit ainsi :

On peut alors déterminer le poids d'un élément de colonne équatoriale de hauteur dx, ou polaire de hauteur dz :

Il ne reste alors plus qu'à intégrer ces expressions du centre au bord et à égaler les deux poids des colonnes pour trouver, au premier ordre du développement, la valeur de l'aplatissement :

Numériquement, on trouve ε = 1/231. Cela correspond à une différence d'axes a−c = 27 km.

Le fait que Newton trouvait la Terre aplatie aux pôles, et non pas allongée comme semblaient le montrer les observations de Cassini en France, donna lieu à une fameuse controverse, et à des expéditions académiques en Scandinavie et à l'équateur (voir autres chapitres de ce dossier). Ces expéditions s'accordèrent sur le fait que la Terre était aplatie aux pôles mais donnaient des valeurs significativement supérieures à 1/231 (typiquement 1/178). Or la valeur de Newton étant celle valable pour un fluide homogène, Clairaut (1743) avait montré que la valeur réelle devait être inférieure. Il fallu attendre de nouvelles observations et la persévérance de Laplace, dans les années 1820, pour réconcilier les mesures entre elles, et fournir un aplatissement observé compris entre 1/304 et 1/310. Aujourd'hui on s'accorde sur un aplatissement de l'ellipsoïde de référence de 1/298 ce qui correspond à une différence d'axe a−c = 21 km.