Numérisation d'un signal acoustique : effet de la fréquence d'échantillonnage (partie 2)

La numérisation consiste à transformer un signal analogique continu qui contient une quantité infinie d'amplitudes en un signal discret contenant une quantité finie de valeurs.

Le passage de l'analogique au numérique repose sur trois étapes successives : l'échantillonnage, la quantification, et le codage.

Dans le premier article, on a étudié l'étape de quantification, c'est-à-dire quels effets sont introduits par les différents choix de pas de quantification sur un signal donné. Dans ce deuxième article on étudie le choix de la fréquence d'échantillonnage.

On numérise ici un signal audio, ce qui permet de nous donner, en plus, une illustration sonore du choix de la fréquence d'échantillonnage.

Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à un signal sinusoïdal. Ce signal a l'avantage de posséder un contenu spectral très simple (une raie), ce qui va permettre de mettre en valeur plus clairement les conditions nécessaires à une numérisation correcte.

On travaille avec un signal sinusoïdal de fréquence 400 Hz, soit S(t) = sin (2 π f t), où f =400 Hz. La figure 1 donne en (a) la représentation temporelle et en (b) la représentation dans l'espace fréquentiel de S(t).

Figure 1. Représentation temporelle et spectrale d'un sinus de fréquence 400 Hz (a) signal temporel de S(t), (b) spectre de S(t).

Il en résulte le signal sonore ci-dessous :

On va maintenant échantillonner ce signal.

Echantillonner un signal revient à prendre un certain nombre de points régulièrement espacés de ce signal. Cette fonction consiste mathématiquement à multiplier le signal original S(t) avec un signal d'amplitude 1 à chaque instant pour lequel on prend un échantillon (opération répétée à la période T_ech) et d'amplitude zéro sinon. Cette fonction est appelée peigne (ou train périodique d'impulsions) de Dirac δ(t), voir figure 2 (a) en bas.

Dans un premier temps, on échantillonne le signal sinusoïdal à une fréquence de 500 Hz. Dans tout le document nous appellerons S le signal original et S_e le signal échantillonné.

La figure 2 (b) présente, en rouge, le signal temporel échantillonné S_e.

Figure 2. Échantillonnage d'un sinus à la fréquence Fech = 500 Hz (a) signal sinusoïdal (haut) et train d'impulsion (bas), (b) signal sinusoïdal échantillonné à Fech = 500 Hz (en rouge).

Le spectre du signal échantillonné est représenté sur la figure 3. On représente en bleu, la raie à 400 Hz du signal original S, et en rouge apparaissent les raies appartenant au signal échantillonné S_e.

On constate que les deux signaux n'ont plus du tout le même contenu spectral.

Figure 3. Spectres des signaux S et Se avec Fech = 500 Hz Spectre du signal temporel original S ( en bleu) et échantillonné Se (rouge).

Dans le spectre de S_e, on voit apparaître une raie à 100 Hz, donc en-dessous du fondamental de 400 Hz, ainsi que des harmoniques.

Si on écoute le nouveau signal S_e en audio, on constate, en effet, qu'il n'est plus fidèle au signal S :

La figure 4 va nous aider à comprendre la modification du spectre du signal. Sur la figure 4(a) est représenté le spectre d'un signal quelconque. Le contenu spectral de ce signal est limité à f_max.

On va maintenant échantillonner, dans le temps, le signal correspondant à ce spectre. L'échantillonnage dans le domaine temporel agit comme une périodisation du spectre, et on va retrouver, espacé à la fréquence F_ech, le contenu fréquentiel du signal original, figure 4(b).

Ainsi pour retrouver le signal original, il suffit d'utiliser un filtre passe bas, dont la fréquence de coupure est choisie entre f_max et F_ech-f_max, figure 4(c).

Figure 4. Périodisation du spectre lors de l'étape d'échantillonnage dans l'espace temporel et restitution à l'aide d'un filtre pass-bas

Par contre, si la fréquence d'échantillonnage est mal choisie, il n'est pas possible de retrouver le signal original. La figure 5 montre un cas où on voit apparaître un repliement du spectre qui vient empêcher de retrouver l'information spectrale contenue dans le signal original.

Figure 5. spectre du signal échantillonné

Il existe un critère, donné par le théorème de l'echantillonnage, qui permet de préserver l'information contenue dans le signal lors de sa discrétisation.

Ainsi on trouvait avec le sinus des raies aux fréquences :

On va maintenant échantillonner le signal sinusoïdal à une fréquence de 1 000 Hz. Ce choix répond au théorème de Shannon, ainsi on s'attend à pouvoir retrouver le sinus à 400 Hz. Le résultat est donné dans la figure 6.

Figure 6. Signal sinusoïdal échantillonné à Fech = 1 000 Hz (a) signal temporel original S (bleu) et échantillonné Se (rouge), (b) spectres correspondants.

Au regard du spectre, figure 6(b), on constate qu'aucune sous-fréquence n'a été introduite n'appartenant pas au signal original. Le signal échantillonné possède des harmoniques dûes à la périodisation du spectre, que l'on pourra couper à l'aide d'un filtre passe-bas.

En utilisant un peigne de Dirac, nous nous sommes placés tout-à-l'heure, dans un situation idéale. En pratique, on utilise un circuit échantillonneur bloqueur, qui garde la dernière valeur mémorisée durant la durée T_ech (figure 6(a)).

Le résultat en audio (avant de lui appliquer un filtrage passe-bas) :

Dans la pratique on utilise plutot F_ech > 10 F_max. Cela permet en outre d'utiliser un filtre passe-bas d'ordre moins élevé.

Pour une fréquence d'échantillonnage à 5 000 Hz, le signal et le spectre sont présentés dans la figure 7.

Figure 7. Signal sinusoïdal échantillonné à Fech = 5 000 Hz (a) signal temporel original S (bleu) et échantillonné Se (rouge), (b) spectres correspondants.

Le résultat en audio (avant de lui appliquer un filtrage passe-bas) ::

On entend très bien les deux fréquences du spectre.