Physique et ingénierie des objets : le bilame

Historiquement, la première utilisation ou invention connue d'un bilame a été faite par l'horloger anglais John Harrison au XVIII^es [1]. Cet horloger a travaillé sur de nombreuses horloges et pendules et suite à un concours lancé pour mesurer le plus exactement le temps et repérer ainsi précisément les longitudes, lors des voyages en bateau, il a développé plusieurs prototypes de montres marines.

C'est lors de la création de son troisième chronomètre marin (H3), figure 8, en 1759, que John Harrison met en place un système de bilame pour compenser les effets de changements de température à bord [2]. Il est d'ailleurs remarquable de noter qu'avec son quatrième chronomètre (H4), figure 9, sur le trajet transatlantique, départ le 18 novembre 1761 de Grande Bretagne et arrivée le 19 janvier 1762 en Jamaïque [3], H4 affiche en retard de 5 secondes, soit une erreur de longitude de 1,25 minute, environ un mille marin (1 852 m).

(Source : Jonathan Betts, National Maritime Museum / Royal Observatory, Greenwich [2]) Figure 8.  Photographie du chronomètre H3 de John Harrison. Première utilisation connue d'un bilame

(Source : Jonathan Betts, National Maritime Museum / Royal Observatory, Greenwich [2]) Figure 9.  Photographie du chronomètre H4 de John Harrison

(Source : Wikimedia) Figure 10.  Plaque placée à la mémoire de John Harrison dans Westminster Abbey. Un bilame est inséré pour rendre hommage à son premier utilisateur

Plus tard, le capitaine James Cook utilisera une copie du chronomètre H4 lors de ses voyages dans le sud de l'Océan Pacifique.

En 2006, une plaque est installée à la mémoire de John Harrison dans Westminster Abbey avec, en son centre, un bilame sur lequel est noté la longitude, figure 10.

Au XVIII^es, les horloges sont souvent équipées d'un ressort spiral et d'un balancier en acier. On constate que l'horloge retarde lorsque la température augmente et qu'elle avance lorsque la température diminue car le module l'élasticité (ou module d'Young) du ressort spiral, augmente lorsque la température augmente, figure 11 [4].

L'effet d'une variation de température sur le module d'élasticité du ressort spiral en acier a un impact très important sur la marche de la montre. Un écart de +10°C provoque un retard de plus de 2 minutes par jour pour un système balancier/spiral non compensé.

(Source : SuisseMontre.com, Compensation des effets des variations de température sur la marche d'une montre [4]) Figure 11.  Evolution du module de Young du ressort spiral en acier en fonction de la température

(Source : De quelle précision a-t-on réellement besoin en mer ?, Guy Boistel, Histoire et Mesure. [6]. D'après A. Ledieu, 1877, p. 326.) Figure 12.  Exemple de courbes isothermes de la marche des chronomètres

John Harrison utilise alors dans ses montres marines un ressort spiral bilame cuivre/acier. La courbure provoquée par la modification de température agit sur la longueur du ressort. Un ressort spiral plus long sera plus souple et entraînera un retard, compensant ainsi l'effet accélérateur de la baisse de température. À l'inverse, un ressort spiral plus court sera plus rigide et entraînera une avance compensant l'effet de retard de la hausse de température [4].

À la suite de John Harrison, en 1766, Pierre Le Roy et plus tard, John Arnold proposent une méthode de compensation de la température en jouant, cette fois, sur un balancier bimétallique. L'objectif est de modifier l'inertie du balancier lorsque la température varie afin de compenser les variations de la rigidité du ressort spiral en acier.

En 1862, l’astronome français Yvon Villarceau dans un « Mémoire sur le mouvement et la compensation des chronomètres », publié dans les « Annales de l’Observatoire », s’intéresse au mouvement du balancier ainsi qu'à la théorie du balancier bilame : compensation et réglage [5]. Il propose dans la foulée une nouvelle formule pour aider les navigateurs à corriger la marche des montres marines, figure 12 [6][7].

Dans cette partie nous allons nous intéresser à la déformation d'une seule lame.

Afin d'étudier la déformation d'un bilame, nous proposons dans un premier temps de réaliser l'expérience témoin avec un seul matériau. Prenons comme premier exemple une feuille de papier que l'on vient déposer dans une bassine d'eau, figure 13.

Dans chacun des cas, on observe que la dilatation, soit due à l'absorption d'eau ou à l'augmentation de chaleur de chaleur, produit une déformation du côté du matériau en contact direct (ou le plus proche) de la source. Ensuite l'humidité, ou la chaleur s'uniformise et le matériau vient reprendre une forme plane. On voit donc une déformation transitoire du matériau.

Considérons, figure 14, une poutre en matériau isotrope et homogène, sa longueur \(L_0 \) à la température \(T_0 \), s’accroit de \(\Delta L = L - L_0 \) si l’on augmente sa température de \(\Delta T = T - T_0 \) tel que :

$$\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$$

Avec α le coefficient de dilatation linéaire du matériau à \(T_0 \).

Figure 14.  Schématisation des contraintes thermiques longitudinales dans un matériau

Selon les hypothèses de la résistance des matériaux, nous considérons que les déformations sont faibles devant les dimensions de la poutre, la variation de section est négligeable et les sections planes normales à la ligne moyenne avant déformation le restent après déformation.

Dans la limite d'élasticité du matériau, la loi de Hooke s'exprime par :

$$\sigma = E \epsilon $$

Le module d'Young \(E \), ou module d'élasticité, est la grandeur qui relie la contrainte normale \(\sigma \) (étirement ou compression) subie par le matériau à la déformation élastique \(c \epsilon \) (allongement ou raccourcissement) qui en résulte [9].

$$\sigma = E \frac{\Delta L}{L_0} $$

La contrainte créée par l'élévation de température est ainsi proportionnelle au coefficient de dilatation et au module d'Young du matériau :

$$\sigma = E \alpha \Delta T $$

Lorsqu'on étudie les contraintes thermiques d'un volume, \(\sigma \) aura la forme d'un tenseur de contraintes.

Un bilame est constitué de la juxtaposition de deux matériaux différents dont le coefficient de dilatation n'est pas le même, figure 15.

(D'après : Kanthal, [8]) Figure 15.  Constitution d'un bilame et déformation sous l'effet de la chaleur

Considérons, par exemple, le matériau 1, sa longueur \(L_0 \) à la température \(T_0 \), s’accroit de \(L-L_0 \) si l’on augmente sa température de \(T-T_0 \) tel que :

$$\frac{L-L_0}{L_0} = \alpha (T-T_0) $$

Avec \(\alpha \) le coefficient de dilatation linéaire du matériau à \(T_0 \).

Le module d'Young, ou module d'élasticité, est la grandeur qui relie la contrainte normale \(\sigma \) (étirement ou compression) subie par le matériau à la déformation élastique \(\epsilon \) (allongement ou raccourcissement) qui en résulte. Dans la limite d'élasticité du matériau, la loi de Hooke donne :

$$\sigma = E \epsilon $$

Avec l'allongement relatif $$\epsilon = \frac{L-L_0}{L_0} $$

Au sein du matériau, dans cet assemblage plus complexe, il se crée d'autres contraintes entre les deux matériaux. Ils se déforment collés l'un sur l'autre.

La contrainte créée par l'élévation de température est proportionnelle au coefficient de dilatation et au module d'Young du matériau :

$$\sigma = E \alpha (T-T_0) $$

L'analyse des contraintes et de la déflexion d'un bilame idéal ont été obtenues en 1865 par Yvon Villarceau [10][11].

L'équation générale donnant le rayon de courbure R d'un bilame plat uniformément chauffé d'une température T₀ à T en l'absence de forces extérieures est donnée par :

$$\frac{1}{R}-\frac{1}{R_0} = \frac{3}{2} \frac{(\alpha_2 - \alpha_1) (T-T_0)}{1+\frac{(E_1 s_1^2 - E_2 s_2^2)^2}{4 E_1 s_1 E_2 s_2 s^2}} $$

Avec :

Dans la plupart des applications industrielles, les bilames suivent des spécifications standards (DIN 1715 en Europe). Par exemple, l'épaisseur des deux matériaux est souvent la même (s₁ / s₂ = 1), et en prenant deux matériaux dont le module d'Young est presque le même (E₁ / E₂ ≈ 1), le calcul du rayon de courbure se simplifie :

$$ \frac{1}{R}-\frac{1}{R_0} \approx \frac{3}{2} \frac{(\alpha_2 - \alpha_1) (T-T_0)}{2 s} $$

On définit la flexibilité (ou courbure spécifique) par le facteur \(k \) :

$$k = \frac{3 (\alpha_2 - \alpha_1)}{2} $$

Pour un bilame plat, maintenu à une extrémité et sans courbure initiale à la température \(T_0 \), figure 16, on a :

$$ \frac{1}{R} = \frac{k (T-T_0)}{s} $$

(D'après : Kanthal, [8]) Figure 16.  Déformation du bilame sous l'effet de la chaleur

Pour trouver la déflexion d, on applique le théorème de Pythagore :

$$ (R + \frac{s}{2})^2 = (R + \frac{s}{2} - d)^2 +L^2 $$

En général, la déflexion du bilame est plus petite que 10% de sa longueur \(L \), on peut donc simplifier l'équation précédente en :

$$ d = \frac{k (T-T_0) L^2}{2s} $$

Un exemple de courbe de réponse d'un bilame est présenté sur la figure 17. On voit une zone pour laquelle la déflexion augmente linéairement avec la température. Selon les applications utilisant le bilame, il peut être intéressant d'avoir une sensibilité constante du système. Pour d'autres applications, le domaine d'utilisation peut être étendu jusqu'à une température limite qui correspond à la limite d'élasticité (provoquant une déformation permanente) d'un des composants utilisé.

(D'après : Kanthal, [8]) Figure 17.  Déflexion en fonction de la température

L'échauffement d'un bilame peut être créé par effet Joule. Dans ce cas on a besoin de bien connaitre la résistance du bilame.

La résistivité du bilame est donnée par :

$$ \rho = \frac{R S}{L} $$

Avec \(R \) la résistance mesurée (Ω), \(L \) la longueur du bilame (m) et \(S \) sa section (épaisseur × largeur) (m²)