Ondes électromagnétiques dans le vide

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Les équations de Maxwell dites "équations de Maxwell dans le vide" (même si elles font intervenir des charges et des courants qui n'existent pas lorsqu'on est réellement dans le vide !) s'écrivent (Définitions de la divergence et du rotationnel) :

 

div B = 0             rot E = - ∂ B/∂ t            
div E = ρ / ε0             rot B = μ0 j + 1/c2 ∂ E / ∂ t            

où ρ est la densité de charges, j la densité de courant, ε0 la permittivité du vide (ε0 = 8,85 . 10-12 S.I.) et μ0 la perméabilité du vide (μ0 = 4 π 10-7 S.I.). On rappelle que μ0 ε0 c2 = 1

 

Dans le cas où ρ = 0 et j = 0 (on considère dans ce paragraphe ce qui se passe dans le vide en l'absence de charges ou de courants), ces équations deviennent :

 

div B = 0           rot E = - ∂ B/∂ t
div E = 0             rot B = 1/c2 ∂ E / ∂ t

 

On considère une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ω : on a

 

E = Eω(r,t) = E0 ei (k.r - ω t)     et     B = Bω(r,t) = B0 ei (k.r - ω t)

 

et on souhaite appliquer à ces champs les équations de Maxwell en absence de charges ou de courant.

Rappel préliminaire : pour la suite il faut se rappeler les valeurs de la divergence et du rotationnel d'une fonction vectorielle f = f0 e k.r composée d'une partie dépendante de r de la forme e k.r et d'une partie indépendante de r (éventuellement dépendante du temps) f0.
On a les équations :

 

div f = i k.f   (k.f est le produit scalaire de k avec f)   et   rot f = i k × f   (k × f est le produit vectoriel de k avec f)

Ces propriétés seront admises dans toute la suite de l'article.

Les équations de Maxwell donnent donc :

 

i k . B0 = 0       i k × E0 = i ω B0       i k . E0 = 0       et       i k × B0 = i ω / c2 E0

 

Ces relations montrent que k, B0 et E0 sont orthogonaux et que

k E0 = ω B0       et       k B0 = ω /c2 E0

 

soit

k2 = ω2 / c2, on retrouve donc k = ω / c, et la vitesse de l'onde électromagnétique considérée, de pulsation ω, et se propageant dans le vide (absence de charge et de courant) est : ω / k = c

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(cette partie peut être sautée, pour peu que les résultats en soient admis, sans nuire à la compréhension de la suite)

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