Ondes électromagnétiques dans un milieu

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En fait, les équations de Maxwell souvent appelées "équations de Maxwell dans le vide" rappelées au paragraphe précédent restent valables dans les milieux matériels à condition d'utiliser les distributions de charges et de courant ρ et j microscopiques rigoureuses. ρ et j doivent ainsi prendre en compte le détail des positions et vitesses des électrons et protons au sein des atomes... Les solutions des équations de Maxwell sont alors les champs électrique e et magnétique b microscopiques. On ne sait cependant pas calculer e et b.

Pour obtenir des équations plus simples, on moyenne les grandeurs e, b, ρ et j sur une échelle de distance s grande devant la taille a des atomes (ceci nous permettra de ne plus avoir besoin de connaître le détail de la répartition des charges à l'intérieur des atomes) mais petite devant la longueur d'onde λ (bien que l'on ne souhaite pas connaître le détail de la structure du champ à l'intérieur de l'atome, on souhaite cependant connaître les variations du champ sur des distances de l'ordre de la longueur d'onde) : on a la relation : a << s << ρ (note : ceci n'est pas toujours possible : dans le cas des rayons X, par exemple, a et ρ sont du même ordre de grandeur).

-la valeur moyenne de e est notée E

-la valeur moyenne de b est notée B

1.2.1. Etape 1 : équations de Maxwell dans les milieux

On cherche à déterminer les équations vérifiées par les champs moyens E et B. Pour cela, il faut introduire quelques définitions avant de faire le calcul. Nous n'allons pas expliciter ce calcul mais uniquement expliquer la nature des termes qui interviennent dans les équations finales.

-on sépare la valeur moyenne de ρ en deux termes différents ρ_macro et ρ_liées.
ρ_macro correspond à la valeur moyenne de la densité des charges libres ainsi que de la charge des ions libres éventuels présents dans le milieu.
ρ_liées correspond à la valeur moyenne de la densité des charges liées (électrons et protons) présentes à l'intérieur des atomes neutres du milieu
on a alors

ρ = ρ_macro + ρ_liées

-de la même façon, on sépare la valeur moyenne de j en j_macro (courant de charges libres ou de la charge des ions) et j_lié (courants liés). On a :

j = j_macro + j_lié

* Note :

La valeur moyenne F(r) d'une grandeur microscopique f(r) s'obtient en calculant l'intégrale :

F(r) = ∫ W(s) f(r-s) ds

où W(s) est une fonction s'annulant sur une distance de l'ordre de s (échelle de distance sur laquelle on effectue la valeur moyenne), elle ne dépend pas de la fonction W(s) choisie.

i. Calcul de ρ_liées et j_lié :

on effectue un développement limité en a/s (les distances interatomiques sont de l'ordre de a) et on obtient, après des calculs que nous ne détaillerons pas ici :

à l'ordre 1 en a/s, ρ_liées = - div P / ε₀ où P est la polarisation (ou densité de moment dipolaire*) moyenne du milieu (à l'ordre 0, la valeur moyenne de la densité de charges liées vaut 0 dans la mesure où il s'agit des charges des atome neutres du milieu).
* Le moment dipolaire p d'un atome de charges q_i est p = Σ q_i r_i où r_i est la distance de la charge q_i au centre de l'atome.

si on suppose le milieu immobile à l'échelle macroscopique, j_lié comprend plusieurs termes dont :

	- ∂ P / ∂ t (les variations de P correspondent à des mouvements de charges, donc à un courant)
	-rot M où M est l'aimantation (ou "densité de dipôle magnétique" *) du milieu.

* Le dipôle magnétique m d'un atome de charges q_i vaut :
m = Σ q_i r_i × v_i où r_i et v_i sont respectivement la distance au centre de l'atome et la vitesse de la charge q_i.

enfin un terme faisant intervenir le quadrupôle électrique, qui apparaît aussi à l'ordre 2 dans l'expression de ρ_liées.

ii. Equations de Maxwell dans les milieux

Si on définit : D = ε₀ E + P, on a, à l'ordre le plus bas du développement :

div D = ρ_macro

et si on définit : H = B/μ₀ - M, on obtient

rot H = j_macro + ∂ D / ∂ t

Ces deux équations :

1. sont des approximations parce qu'elles ne tiennent pas compte de tous les termes du développement
2. restent complexes, même si la complexité est désormais "cachée" à l'intérieur des champs D et H.

Les deux autres équations de Maxwell restent inchangées. On a toujours :

div B = 0

rot E = - ∂ B/∂ t

1.2.2. Etape 2 : approximation de la réponse linéaire

pour obtenir une équation simple, on va supposer que, dans le milieu étudié, les hypothèses simplificatrices suivantes sont valables :

- en l'absence de champ extérieur appliqué au milieu, j_macro, M et P sont nuls.
On connaît des cas pour lesquels cette condition n'est pas vraie :

	j_macro non nul sans champ extérieur correspond au phénomène de supraconductivité
	P non nul sans champ extérieur correspond au phénomène de ferroélectricité
	M non nul sans champ extérieur correspond au phénomène de ferromagnétisme

- j_macro, M et P répondent linéairement à une onde électromagnétique de fréquence ω, de champs notés E_ω et B_ω (l'hypothèse précédente étant admise, ceci devrait être valable pour des valeurs de E_ω et B_ω suffisamment faibles)

- le milieu est isotrope et homogène

Alors, on peut écrire :

P_ω(r) = ε₀ χ^e(ω) E_ω(r)	χ^e(ω) = susceptibilité électrique
M_ω(r) = χ^m(ω) H_ω(r)	χ^m(ω) = susceptibilité magnétique
j_ω macro(r) = σ(ω) E_ω(r)	σ(ω) = conductivité du milieu

P_ω(r), M_ω(r), et j_ω

macro(r) sont respectivement la polarisation moyenne, la densité de dipôle magnétique et la densité de courant induites par l'onde de pulsation ω considérée.

d'où, si on définit la permittivité relative ε_r et la perméabilité relative μ_r comme ε_r(ω) = 1 + χ^e(ω) et μ_r(ω) = 1 + χ^m(ω),

D = ε₀ ε_r E H = B/(μ₀μ_r)

Ecrivons ce que deviennent les équations de Maxwell, en l'absence de charges macroscopiques (ρ_macro = 0), dans un milieu isolant (σ = 0) et de susceptibilité magnétique nulle (μ_r = 1), et pour une onde électromagnétique de pulsation ω donnée, dont les champs E et B s'écrivent : E_ω = E₀ e^{i
(k.r - ω t)} et B_ω = B₀ e^{i
(k.r - ω
t)}

rot E_ω = - ∂B_ω/∂t donne i k × E_ω = i ω B_ω

div D_ω = 0 donne i ε₀ ε_r k.E = 0

div B_ω = 0 donne i k.B = 0

on a j_ω
macro(r) = σ(ω) E_ω(r) = 0 car σ(ω) = 0, donc la dernière équation de Maxwell s'écrit rot H_ω = 0 + ∂D_ω/∂t
On a donc :
i k×B_ω/μ₀ = - 1/c² ε₀ ε_r E_ω
soit
i k² E_ω/ω = ε_r i ω² E_ω soit k² = ε_r ω²/c² et on obtient finalement :

ω/k = c / √^‾ε_r

or, par définition, on a ω/k = c / n donc l'indice n du milieu est donné par la relation :

n = √^‾ε_r

Remarques :
- l'indice n ainsi trouvé dépend de ω
- ε_r, tout comme χ^e, peut être complexe, donc l'indice lui aussi est un nombre complexe.
- n vérifie aussi la relation n = c B₀/E₀

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