Indices optiques : dérivation à partir des équations de Maxwell, signification physique, expression

Soit une onde électromagnétique plane et monochromatique de pulsation ω = 2 π / T (T période temporelle de l'onde) et de vecteur d'onde k orienté suivant le sens de propagation de l'onde et de norme k = 2 π / λ (λ longueur d'onde). On note le champ électrique (complexe) de cette onde E_ω(r,t) et son champ magnétique B_ω(r,t), ces champs étant exprimés au point r. Ils ont l'expression suivante * :

Lorsque l'onde se propage dans le vide, on retrouve aisément (cf paragraphe 1.1. qui suit), à partir des équations de Maxwell, la relation : ω/k = c où c = 299.792.458 m/s est la vitesse de la lumière dans le vide. Lorsque l'onde se propage dans un milieu matériel, cependant, cette relation n'est plus valable. L'onde est diffusée par les atomes qu'elle rencontre et sa propagation est ralentie. On définit alors (cf paragraphe 2) l'indice n du milieu comme n = k c/ω où n est une fonction, a priori complexe, de la variable ω. On verra aussi comment n est relié à la vitesse de propagation de l'onde.

On montre, dans un milieu isolant de susceptibilité magnétique nulle (c'est-à-dire où la perméabilité magnétique relative μ_r = 1) que

où ε_r est la permittivité électrique relative du milieu.

n vérifie aussi la relation n = c B₀/E₀.

On rappelle que, pour une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ω, le champ électrique E_ω s'écrit :

et que l'indice n(ω) du milieu est défini par la relation

L'indice n(ω) est a priori un nombre complexe que l'on peut écrire n(ω) = n'(ω) + i n"(ω) avec n' et n" réels.

Si n(ω) n'est pas réel (n" ≠ 0), alors il en est de même pour k = ω/c n(ω) que l'on peut décomposer en partie réelle et partie imaginaire : k = k' + i k" = ω/c (n' + i n")

D'une façon générale, E_ω se réécrit :

Gabrielle Bonnet

Supposons, pour fixer les idées, que k est colinéaire à (Oz). On considère une onde électromagnétique issue du vide et pénétrant dans le milieu. L'expression de E_ω(r) à l'intérieur du milieu matériel comprend un terme exponentiellement décroissant avec z (pour peu que k" soit positif) :

et un terme périodique :

L'étude de ces deux termes permet de comprendre la signification physique de n' et n".

Il existe un certain nombre de modèles permettant de donner une valeur approchée, tout au moins sous certaines conditions, de l'indice d'un milieu. En fait, même si certains modèles classiques existent, ces formules doivent, de façon rigoureuse, s'établir dans le cadre de la mécanique quantique. Ces calculs sortent du cadre de cet article et nous souhaitons seulement rappeler les résultats obtenus.

On va considérer un milieu matériel isotrope, homogène, non ferroélectrique ou ferromagnétique, non supraconducteur et transparent dans le domaine des fréquences visibles (l'indice n(ω) est alors réel pour toutes les longueurs d'onde comprises entre 450 nm et 750 nm environ).Ceci signifie qu'il n'y a pas de raie ni de bande d'absorption dans cette gamme de fréquence, par contre il y a des raies d'absorption en-dehors du visible et on appellera ωi les pulsations correspondant à des raies (ou des bandes) d'absorption situées dans l'ultraviolet (UV), dans l'infrarouge (IR) ou au-delà.

On a alors, pour un milieu dense, la formule approchée suivante, qui permet de relier une grandeur macroscopique, l'indice du milieu, aux propriétés microscopiques de la matière :

avec n : indice du milieu (pour la pulsation ω considérée), ω_i : pulsation correspondant à une raie d'absorption des molécules composant le milieu, N densité de molécules présentes dans le milieu, et q et m, charge et masse de l'électron. Les coefficients f_i sont quant à eux des nombres sans dimension, appelés « force d'oscillateur », de somme égale au nombre d'électrons de l'atome (ces forces d'oscillateur s'écrivent en fonction d'éléments de matrices qui sortent du calcul quantique de la susceptibilité moléculaire).

Si le milieu est très peu dense on a :

On constate sur ces formules que, pour un même milieu, dont on fait seulement varier la densité, la différence n² - 1 (ou (n² - 1)/(n² + 2) pour un milieu dense) est proportionnelle à la densité du milieu. Pour des milieux de natures différentes, par contre, la densité n'est pas seule en jeu puisqu'il faut connaître les fréquences d'absorption du milieu pour déterminer son indice.

De nombreuses expressions approchées de l'indice d'un milieu ont été trouvées, souvent à l'aide de modèles purement classiques. Pour en savoir plus on peut se référer aux manuels d'introduction à l'électromagnétisme de Licence ou de classe préparatoire aux grandes écoles (comme les livres de Bertin, Renault et Faroux, en particulier "Electromagnétisme 4") au moins pour les explications classiques, ou à un cours plus avancé pour les calculs de mécanique quantique.

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