Forces de frottement subies par un objet en mouvement dans un fluide

Quel est le critère intuitif utilisé dans la vie courante pour déterminer si un fluide est "visqueux" ou si un fluide est au contraire "très fluide"?

Gabrielle Bonnet

On jette de l'eau et du miel sur une table... lequel va le plus loin?

Supposons que l'on jette de l'eau et du miel sur une table. L'eau va s'étaler tandis que le miel va peu "couler". Quel est le nombre qui caractérise ce comportement? Est-ce la viscosité η? Est-ce un autre nombre? Nous allons essayer de le déterminer en analysant cette expérience.

Si une portion de fluide de "rayon" caractéristique D lancé initialement à la vitesse V se déplace sur une longueur L avant de s'arrêter, la variation d'énergie cinétique de ce fluide est de l'ordre de m V² (comme ceci est un calcul d'ordre de grandeur on oublie les facteurs 1/2) soit ρ D³ V².

Gabrielle Bonnet

Le miel (très schématisé!) à l'instant initial : c'est une portion de fluide de taille D, dans lequel le gradient des vitesses est de l'ordre de V/D : on a lancé le fluide à la vitesse V, mais si la partie libre du fluide peut continuer sur sa lancée à la vitesse V, la partie en contact avec la table a, du fait des contraintes visqueuses, une vitesse nulle.

Estimons à présent le travail des forces de frottement fluide.

Par définition de la viscosité η du fluide, les contraintes visqueuses sont de l'ordre de : η S grad v, η étant la viscosité du fluide, S la surface sur laquelle s'exercent ces contraintes et grad v les gradients de vitesse dans le fluide. Le travail des frottements fluides sur une distance L est donc de l'ordre de η S grad v L (on donnera plus tard une définition plus précise de la force de frottement fluide mais cet ordre de grandeur suffit pour l'estimation que l'on souhaite faire ici).

Or, S est de l'ordre de D², et grad v est de l'ordre de V/D (c'est le rapport de la variation de la vitesse à l'intérieur du fluide entre la table - au niveau de laquelle la vitesse est 0 - et la partie supérieure de la portion de fluide - lancée à la vitesse V - sur la taille D caractéristique de l'écoulement). Par suite, le travail des forces de frottement fluides est de l'ordre de η D² V/D L.

La variation d'énergie cinétique du fluide entre son lancement et le moment où il s'arrête (après avoir parcouru la distance L) est égale au travail des forces de frottement fluide sur ce parcours, par conséquent, ρ D³ V² = η D² V/D L donc L/D = V D ρ / η = R_e. Le rapport L/D est donc égal au nombre de Reynolds R_e.

Si L/D est grand devant 1 (donc si R_e > 1), le fluide va couler longtemps avant de s'arrêter, il sera donc "très fluide", si L/D est au contraire plus petit que 1 (c'est-à-dire lorsque R_e ≪ 1), le fluide va très peu couler avant de s'arrêter : c'est un fluide fortement visqueux. On voit donc que la notion "intuitive" de viscosité ne correspond pas simplement à la valeur de η, mais au nombre de Reynolds. Pour un même fluide, selon la vitesse et la dimension des écoulements mis en jeu, le fluide se comportera comme un fluide "très visqueux" ou au contraire comme un fluide "très fluide". Les différents régimes que l'on observe expérimentalement confirment cette idée intuitive : la nature de l'écoulement dépend bien du nombre de Reynolds et non de la vitesse V seule.

L'équation de Navier-Stokes est le cadre théorique permettant de décrire le champ de vitesse dans la plupart des fluides étudiés en Terminale S.

Elle dépend de deux hypothèses :

Dans ces conditions, on a, si on note ρ la masse volumique du fluide, v la vitesse relative du fluide par rapport à l'objet, ρ f les forces volumiques appliquées au fluide (par exemple, le poids par unité de volume ρ g), et p la pression du fluide :

On rappelle que le gradient (grad) est une dérivée première par rapport aux coordonnées d'espace alors que le Laplacien (Δ) est une dérivée seconde

La force de frottement fluide F fait intervenir deux composantes : une composante proportionnelle aux gradients de vitesse existant au voisinage de la paroi, et une autre qui dépend de la pression p dans le fluide. Si on note p₀ la pression statique solution de l'équation ρ f - grad p₀ = 0, et p' la différence p' = p - p₀, on a

où n est le vecteur normal à la surface de l'objet et [σ] est une matrice dont les éléments sont de la forme : η × des combinaisons linéaires des différentes composantes du gradient de v. L'expression de F dépend donc de la nature de l'écoulement au voisinage de la paroi de l'objet et, par suite, de la valeur du nombre de Reynolds.

Si on compare les termes ρ (v.grad)v et η Δv de l'équation de Navier-Stokes, on voit que, si on se place à un échelle de distance caractéristique de l'écoulement d, le premier est de l'ordre de ρ V²/d, alors que le second est de l'ordre de η V/d² (on se contente ici de remplacer les dérivées partielles spatiales par des divisions par d). Si on calcule le rapport entre ces deux nombres, on trouve qu'il est de l'ordre de V d ρ / η : ce rapport est égal au nombre de Reynolds.

Le nombre de Reynolds caractérise donc le rapport entre les effets cinétiques (qui correspondent au premier terme) et les effets de viscosité (qui correspondent au deuxième terme) à l'intérieur du fluide. Lorsque le nombre de Reynolds est petit, les effets de viscosité dominent tandis que lorsqu'il est grand, ce sont les effets cinétique qui dominent : ceci corrobore les résultats trouvés en 1.

Nombre de Reynolds très petit devant 1

http://www.bls.fr/amatech/aerotechnique/trainees2/trai2vc1.htm

Lorsque le nombre de Reynolds est très petit devant 1 (régime laminaire), les effets cinétiques (correspondant au terme non-linéaire ρ (v.grad)v de l'équation de Navier-Stokes) sont négligeables devant les effets de viscosité. On se retrouve donc avec une équation différentielle linéaire en v et p : ρ ∂v/∂t = ρ f - grad p + η Δv qui devient ρ f - grad p + η Δv = 0 dans le cas d'un régime permanent (ρ ∂v/∂t = 0).

On a défini p₀, la pression statique, comme la solution de l'équation ρ f - grad p₀ = 0, et p' comme la différence p' = p - p₀ (cf 3.) : on obtient alors l'équation :

grad p' = ρ Δv

Conséquences de la linéarité de l'équation de Navier-Stokes dans le cas R_e ≪ 1 :

la vitesse de l'objet en mouvement dans le fluide intervient dans la résolution de cette équation par la donnée des conditions aux limites au voisinage de l'objet (si la paroi de l'objet se déplace à la vitesse V, le fluide au contact de la paroi est aussi animé d'une vitesse V). Comme l'équation différentielle est linéaire, les solutions v(r) et p'(r) de l'équation différentielle dépendent linéairement de la condition aux limites V. Par suite, la force de frottement fluide F dépendant linéairement de v(r) et de p'(r), F dépend elle aussi linéairement de V.

Dans le cas particulier d'une sphère rigide, on calcule de façon exacte la force de frottement fluide, et l'on obtient l'expression suivante pour F :

F = -3 π η D V où D est le diamètre de la sphère

Nombre de Reynolds supérieur à 1000

http://www.bls.fr/amatech/aerotechnique/trainees2/trai2vc1.htm

Lorsque le nombre de Reynolds n'est plus petit devant 1, l'écoulement change : on ne peut plus considérer les effets cinétiques comme négligeables, et si R_e est très grand, l'écoulement devient fortement turbulent. Dans ce domaine de nombre de Reynolds, l'équation de Navier-Stokes ne peut pas être simplifiée pour donner une équation linéaire, par contre, on peut être tenté de supprimer le terme de viscosité pour ne garder que le terme cinétique. On voit alors que l'équation fait intervenir (v.grad) v, c'est-à-dire un terme de degré 2 en V. Ceci peut nous faire supposer que p'(r), et, par suite la force F, sera proportionnelle à V². Effectivement, pour des nombres de Reynolds supérieurs à 1000, on constate que la force de frottement fluide est proportionnelle à V².