Validation des principes de la relativité restreinte - Relativité restreinte (3/3)

Une horloge « parfaite » est une horloge dont le fonctionnement est très peu (à la limite nullement) affecté par les forces de gravitation et d'inertie. La meilleure approximation de l'horloge parfaite réalisée à ce jour est l'horloge atomique ou plutôt nucléaire. Dans les conditions ordinaires les forces d'inertie sont négligeables devant les forces électriques et à fortiori devant les forces nucléaires qui déterminent, les unes, les processus dans les couches électroniques, les autres, les processus dans les noyaux des atomes.

L'effet de « dilatation des durées » a aussi été mis en évidence en recueillant au niveau du sol des particules appelées muons (aussi appelées « électrons lourds » ; 207 fois la masse de l'électron), d'énergie 100 Gev, qui sont produits dans la haute atmosphère par la désintégration de « mésons π » issus de l'interaction de protons de très haute énergie (rayons cosmiques) avec les particules atmosphérique, ce qui constitue l'événement (A).

Voir l'animation sur l'expérience des muons

Ils se désintègrent en donnant un électron, un neutrino muonique et un antineutrino électronique) :

${\mu }^{\mathrm{-}}\to e^{\mathrm{-}}+v_{\mu }+v_e$

Cette désintégration des muons (qui constitue l'événement (B)) s'effectue selon une loi exponentielle (réaction du premier ordre : la diminution par désintégration du nombre de particules d'une quantité dn durant la durée dt, entre t et t + dt est directement proportionnelle au nombre n(t) de particules présentes à l'instant t) :

$n\left(t\right)=n_{0}exp(-\frac{t}{\tau })$

où n(t) est le nombre de muons à l'instant t, τ une constante appelée durée de vie des muons.

La mesure au laboratoire du nombre de désintégrations des muons au repos permet de tracer n(t). Puisque dans cette expérience les particules qui se désintègrent sont au repos, on note τ₀ leur durée de vie moyenne mesurée dans le référentiel du laboratoire. On trouve aisément τ₀ = 2,2.10^-6s (à partir de la pente à l'origine du graphe de n(t)). La vitesse des muons est de l'ordre de la vitesse de la lumière (99,52% soit 298 000 km.s^-1), leur libre parcours moyen devrait alors être de cτ₀, soit 660 m.

En physique classique cela signifierait que le nombre de muons détectés par heure est divisé par e = 2,71 tous les 660 m.

Des compteurs à scintillations, placés sur une montagne à différentes altitudes, permettent de dénombrer les muons cosmiques qui proviennent de la haute atmosphère.

Le scintillateur est traversé sans difficulté par la plupart des muons ; certains (moins de 1%), freinés par le bloc de métal placé au-dessus (75 cm d'épaisseur de fer), sont stoppés au niveau du scintillateur. Le passage ou l'arrivée d'un muon dure un temps très court (moins de 1.10^-9s) et se traduit par un éclair lumineux, qui est enregistré sous forme d'une impulsion sur un écran d'oscilloscope, via un photomultiplicateur. Un muon arrêté dans le scintillateur a toutes les chances de se désintégrer dans les quelques microsecondes suivant son arrivée ; l'électron énergique qui en résulte donne une seconde impulsion séparées de Δt. En faisant la statistique de ces durées Δt, on peut vérifier la loi de décroissance exponentielle.

L'expérience a été réalisée par B. Rossi et D.B. Hall en 1941 sur un dénivellé de 1624 m entre Echo Lake (3240 m) et Denver (1616 m), puis par D.H. Frisch et J.H. Smith en 1963 entre le sommet du Mont Washington (1907 m) et le niveau de la mer.

La valeur obtenue par la théorie relativiste est proche des données expérimentales. On obtient ainsi une vérification par l'expérience de la relativité du temps. Les muons se déplaçant tellement vite, la montagne leur paraît 15 fois moins haute qu'à un observateur placé sur la Terre.

Cette expérience sur les muons est très instructive. Elle confirme trois prédictions relativistes : le ralentissement des horloges, la contraction des longueurs et le comportement relativiste identique de tous les types d'horloges. De plus, la relativité s'applique ici à un phénomène – la désintégration des muons - qui n'est ni mécanique ni électromagnétique.

Une vérification expérimentale de la dilatation des durées fut effectuée en 1971. Deux avions à bord desquels une horloge atomique au césium avait été placée effectuèrent leurs vols commerciaux régulier à la même vitesse et dans des directions différentes, l'un vers l'est et l'autre vers l'ouest. Puis ils comparèrent leur horloge atomique à une troisième horloge atomique au sol.

L'avion volant vers l'est perdit δt_E  = - 59 ns alors que l'avion volant vers l'ouest gagna δt_O = + 273 ns. Deux effets sont présents :

Soit cet écart : Δ = δt_E - δt₀ = - 59 - (+273) = - 332 ± 17 ns

Résultat tout à fait cohérent. Les écarts s'expliquent assez bien par des durées de vol différentes, des altitudes variables, des trajectoires approximatives, ou par l'imprécision des horloges à l'époque.

Au phénomène de Doppler classique, étudié en optique par Fizeau, se superpose le phénomène de relativité du temps quand la source est en mouvement à très grande vitesse : c'est l'effet Doppler-Fizeau relativiste (combinaison d'un effet Doppler classique avec une vitesse radiale et un « ralentissement » des horloges mobiles).

L'atome est considéré comme une source de lumière monochromatique de période propre T₀, assimilé à un oscillateur harmonique qui, dans son référentiel propre (R₀), possède une fréquence υ₀, correspondant à une transition radiative. Dans le référentiel du laboratoire (R), cette fréquence vaut υ.

Les deux événements entre lesquels on mesure la distance spatio-temporelle, seront respectivement le début E₁ et la fin E₂ de N oscillations (éclairs) exactement (on peut bien sûr faire le raisonnement pour N = 1) dans un point-de vue ondulatoire. C'est une simple commodité de langage de parler de l'atome comme d'un observateur galiléen muni d'une horloge.

D'un point de vue corpusculaire, on pourrait aussi considérer les deux événements comme la création puis disparition d'un photon (particule de masse nulle et vitesse c dans tous les référentiels !).

Dans la théorie classique de l'effet Doppler l'écart de fréquence ne dépend, au premier ordre, que de la vitesse relative de la source émettrice par rapport au récepteur. En Relativité la propagation de la lumière est isotrope dans tous les référentiels galiléens ; nous pouvons faire les calculs dans n'importe lequel d'entre eux, le plus simple, par exemple, est de se placer dans le référentiel associée à la source S, prise comme origine du repère (R). Soit un observateur O' animé d'un mouvement rectiligne uniforme selon Sx, avec une vitesse V > 0 (s'éloigne de la source).

La lumière émise par le faisceau dans la direction de la vitesse, en avant (λ'₁) et en arrière (λ'₂), après réflexion sur un miroir, était analysée par un spectrographe. Ils ont observé un déplacement spectral de la raie H_β :

$\delta {\lambda }_{\exp }=\frac{{\mathrm{\lambda \text{'}}}_1+{\mathrm{\lambda \text{'}}}_2}{2}-{\lambda }_0$ qu'on peut estimer au second ordre $\delta {\lambda }_{\mathrm{th}}\approx \frac{1}{2}{\left(\frac{V}{c}\right)}^2{\lambda }_0$,

λ₀  = 486,0 nm, mesure en Angstrom.

On parle d'effet Doppler longitudinal.

Quand la source s'éloigne de l'observateur, le décalage du spectre a lieu vers les grandes longueurs d'onde. On dit qu'on observe un « déplacement vers le rouge » ou « redshift » en anglais (λ' > λ).

Les astronomes ont découvert depuis 1960, des sources baptisées quasars (quasi-stellar) dont la particularité est d‘avoir de très forts déplacements vers le rouge $\frac{\Delta \lambda }{\lambda }$(de l'ordre de 2 !). Ainsi la raie Lyman alpha de l'hydrogène (λ₀  = 121,6 nm) qui se trouve « normalement » dans l'ultraviolet lointain, se retrouve dans le spectre visible (λ' = 364,8 nm). On conçoit que l'identification de telles raies est très difficile (V = 0,8 c).

Les mesures effectuées par les astrophysiciens montrent que le rayonnement émis par chaque amas de galaxies subit un tel déplacement, justifiant ainsi que tous ces amas s'éloignent de notre référentiel terrestre. C'est une preuve indirecte de l'expansion de l'Univers et par suite du Big-Bang.

Remarque

Il existe aussi un effet Doppler transversal purement relativiste associé au ralentissement de la marche d'une horloge en mouvement quand l'observation se fait perpendiculairement à la direction de l'onde qui se propage, on a la relation :

$\upsilon \text{'}={\upsilon }_0\sqrt{1-{\left(\frac{V}{c}\right)}^2}\approx {\upsilon }_0(1-{\frac{1}{2}\left(\frac{V}{c}\right)}^2)$ effet du second ordre en V/c (plus difficile à observer).

Il a été observé pour la première fois en 1938-41 par Ives et Stillwell avec un faisceau de rayons composés d'atomes d'hydrogène à grande vitesse. La lumière émise perpendiculairement au faisceau était analysée par un spectrographe.

Ils ont observé un déplacement spectral de la raie H_β de 2 pm pour les ions H₂⁺ de longueur d'onde 486,0 nm.

On considère le dispositif expérimental de Fizeau schématisé ci-contre.

On place une source ponctuelle en S. Les fentes F₁ et F₂ sont très fines. Les tubes ont même longueur L. Les axes parallèles, contiennent un même liquide d'indice n.

Quand le liquide est au repos dans T₁ et T₂, on observe une frange centrale brillante au foyer O de la lentille L₂. Le liquide est mis en mouvement aux vitesses + u et – u respectivement.

On observe une modification de la figure d'interférence.

L'astronome anglais J.Bradley (1693-1762) cherchait à mesurer la distance des étoiles au Soleil ou plus précisément leurs « parallaxes ». La parallaxe d'une étoile est l'angle A sous lequel on verrait le rayon de l'orbite terrestre à partir de l'étoile. Pour mesurer cet angle il « suffit » d'observer l'étoile tout au long de l'année et de remarquer que la direction d'observation va varier.

En considérant, pour simplifier, une étoile dans une direction perpendiculaire au plan de la trajectoire de la Terre autour du Soleil, on remarque que la direction de la lunette d'observation décrit un cône dont le demi-angle au sommet est égal à la parallaxe A. A priori la parallaxe d'une telle étoile dépend de sa distance au soleil et elle est d'autant plus faible que l'étoile est plus éloignée.

Les observations de Bradley sont différentes. D'une part la direction apparente d'observation varie d'une manière différente au cours de l'année et d'autre part, le mouvement apparent de l'étoile est un mouvement circulaire dont le rayon angulaire ε est égal à 20'' d'angle (diamètre apparent d'un cheveu tenu à bout de bras) et ceci quelle que soit l'étoile observée !

L'interprétation donnée par Bradley est de nature « cinématique » et résulte de la composition des vitesses de la lumière et de la Terre par rapport au référentiel « héliocentrique » lié au Soleil : l'observateur « voit » l'étoile dans la direction de la vitesse relative c' = c – V.

Connaissant l'angle d'aberration ε, Bradley a ainsi estimé la vitesse de la lumière à environ 10 000 fois la vitesse orbitale de la Terre, soit environ 300 000 km.s^-1.

Dans le cas de l'observation de Bradley l'une des vitesses à composer est celle de la lumière et l'addition classique n'est plus a priori applicable ! Néanmoins comme V << c la cinématique relativiste conduit à un résultat identique si on limite la précision des calculs au premier ordre en V/c.

Notons que l'effet d'aberration de la lumière n'a aucun rapport avec la vitesse de déplacement des étoiles par rapport à la Terre, et ne fait que refléter la variation de la vitesse de ce mouvement relatif, déterminée par le mouvement de la Terre. C'est pour cela que l'aberration est la même pour toutes les étoiles, bien que leurs vitesses par rapport à la Terre soient très différentes.

Pour la mécanique newtonienne, l'intervalle de temps entre deux événements observés dans deux référentiels (R) et (R') est un invariant vis à vis d'un changement de référentiel :

$\Delta t=\Delta t\text{'}$ (i)

Il en découle une chronologie universelle et les lois de transformation des vitesses et des accélérations, en particulier dans le cas présent où les référentiels sont en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre (vitesse u d'un point lié à (R') par rapport à (R)). On a :

$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\text{'}+\overrightarrow{u}$(ii)

L'expérience est en accord avec l'invariant (i) et la loi de composition des vitesses (ii) tant que toutes les vitesses en question sont petites devant la vitesse de la lumière dans le vide. Par contre l'expérience est en désaccord dans le cas contraire.

D'après le second postulat d'Einstein on doit poser que la vitesse du photon a la même valeur, soit c, par rapport à tous les référentiels.

On peut écrire cela : ${\Delta \overrightarrow{r}}^2-c^2\Delta t^2=0$ quel que soit le référentiel, pour un photon.

On peut généraliser ce résultat à une particule P quelconque.

La Relativité Restreinte pose comme nouvel invariant :

$\underset{\text{dans (R)}}{{\Delta \overrightarrow{r}}^2-c^2\Delta t^2}=\underset{\text{dans (R')}}{{\Delta \overrightarrow{r}\text{'}}^2-c^2\Delta {t\text{'}}^2}=\underset{\text{dans (R0)}}{-c^2\Delta {t_0}^2}$

avec (R₀) le référentiel propre de la particule.