La découverte historique de la variation de la pesanteur avec la latitude

La diminution de la pesanteur avec la latitude est aussitôt interprétée comme un effet de la rotation terrestre. L'observation de Richer est donc, si l'on excepte le mouvement diurne des astres, la première manifestation de la rotation de la Terre. Huygens explique en 1690 : « Je reconnus, aussitôt qu'on nous eut communiqué le nouveau phénomène, que la cause en pouvait être rapportée au mouvement journalier de la Terre qui étant plus grand en chaque pays, selon qu'il approche plus de la ligne équinoxiale [l'équateur], doit produire un effort proportionné à rejeter les corps du centre, et leur ôter par là une certaine partie de leur pesanteur » ([1], p. 176).

Huygens a déterminé l'expression de la force centrifuge dès 1659. Après la mesure de Richer, il montre que la force centrifuge, due à la rotation de la Terre, est maximale à l'équateur, nulle aux pôles et que sa projection sur la verticale varie comme le sinus carré de la colatitude. Grâce à la valeur connue de la pesanteur à Paris, il calcule d'abord que le rapport de la force centrifuge (par unité de masse) à l'équateur sur la gravité est de m = 1/289 = 1/(17)². Dans ce calcul, Huygens considère que g est constant selon la latitude mais l'erreur qui provient de cette approximation est très faible. En considérant une Terre sphérique, il détermine ensuite ce que serait la gravité sur une Terre immobile, puis ce que vaut la pesanteur à l'équateur. Il peut ainsi déterminer la diminution de la pesanteur entre Paris et l'équateur. Il trouve cependant une valeur trop faible par rapport à l'observation de Richer (cf. la retranscription des calculs dans l'annexe Variation de la pesanteur à la surface d'une Terre sphérique (calcul de Huygens) ). D'où provient l'écart ? La première explication est de remettre en cause la précision des observations : « mais on ne peut pas se fier entièrement à ces premières observations. (…) Il faut espérer qu'avec le temps nous serons informés au juste de ces différentes longueurs, tant sur la ligne qu'en d'autres climats » ([1], p.179). Avant la publication des Principia de Newton en 1687, Huygens ne soupçonne pas d'autres causes.

En 1672, l'influence des forces centrifuges sur l'intensité de la pesanteur a donc été observée pour la première fois. Quelques années plus tard, un nouveau problème est soulevé, concernant cette fois la direction de la pesanteur et la déviation de la chute libre des corps par rapport à une direction de référence. La Terre étant considérée sphérique, cette direction de référence est la perpendiculaire à la surface passant par le centre de la Terre (appelée direction géocentrique). On suppose que la pesanteur est confondue avec cette direction et ainsi qu'elle est dirigée pour tous les points de la surface vers le centre de la planète. Hooke est le premier en 1679, lors d'une correspondance avec Newton, à affirmer qu'un corps en chute libre ne tombe pas directement selon la direction géocentrique mais selon une direction déviée vers le Sud. Il affirme ensuite clairement que la pesanteur, composée de l'attraction et de la force centrifuge, n'agit pas selon la direction géocentrique, qu'elle n'est pas dirigée vers le centre de la Terre mais qu'elle s'écarte vers l'équateur : “The Perpendiculars or Lines of Gravity or Descent do no where, except under the Poles and Equinoctial, respect the Center of the Earth; but other Centers in the Axis of its Rotation” ([2], p.356).

En 1690, Huygens reprend ces considérations avec une parfaite acuité. Il affirme qu'une corde qui soutient un plomb s'écarte de la direction géocentrique parce qu'elle est rejetée par le mouvement de rotation de la Terre. Il précise : « Cette déclinaison est bien contraire à ce qu'on a supposé, de tout temps, comme une vérité très certaine, à savoir que la corde, qui tient un plomb suspendu, tend directement au centre de la Terre. Et cet angle, d'un dixième de degré, est assez considérable, pour faire croire qu'on devrait s'en être aperçu, soit dans les observations Astronomiques, soit dans celles qu'on fait avec le Niveau »([1], p.181). Ces réflexions posent le problème de la signification de la verticale qui est la direction donnée par le fil à plomb. Cette direction sert de référence pour les observations astronomiques. On a supposé jusqu'à présent qu'elle passe par le centre de la Terre, et ainsi que la position des étoiles est définie de façon unique quelque soit le lieu d'observation. Ce n'est plus vrai si la pesanteur ne tend pas vers un seul centre. Toutes les observations des positions d'étoiles doivent ainsi être revues ! Huygens se trompe cependant lorsqu'il affirme que cette déviation de la verticale peut être observée aisément. Car il n'y a pas de terme de comparaison. La direction géocentrique, qui serait la verticale d'une Terre au repos, ne peut être observée par aucun moyen sur une Terre en mouvement et n'a aucune signification physique.

L'effet de la force centrifuge étant significatif dans la valeur et la direction de la pesanteur, son influence sur la figure de la Terre et des planètes se pose également. En 1666, Jean-Dominique Cassini observe que Jupiter a une figure aplatie (rayons équatorial et polaires sont de l'ordre de 71492 et 66854 km, soit un aplatissement important de 0,06488, pour cette planète gazeuse qui tourne très vite sur elle-même en seulement 10h). En 1671, Picard est, semble-t-il, le premier à avancer que la Terre n'a pas une forme parfaitement sphérique. Vers 1675, Hooke suppose que les planètes sont des ellipsoïdes aplatis. En 1677, Gallet pense mettre en évidence l'aplatissement de Mercure lors de son passage devant le Soleil (ce qui s'avérera faux par la suite pour cette planète tellurique à très longue période de rotation de 58,6 jours). En 1681, Burnet affirme lui-aussi que la Terre est un ellipsoïde aplati. En 1683, Hooke discute les différentes possibilités pour la forme de la Terre, allongée ou aplatie, sans prendre réellement parti faute d'observation déterminante. En 1683, les astronomes J.-D. Cassini et La Hire commencent à prolonger la méridienne de Picard vers le Sud et le Nord pour tester la forme de la Terre. En 1686-1687, Hooke réémet clairement l'idée que les mers ont une forme ellipsoïdale, du fait de la rotation terrestre ([2], p.346) et il propose de prouver l'aplatissement terrestre par des mesures pendulaires et des mesures géodésiques à différentes latitudes.

Dans ses Principia de 1687, Newton affirme lui aussi que la Terre est aplatie aux pôles. Il expose : « Si les planètes n'avaient point le mouvement journalier de rotation autour de leur axe, elles devraient être sphériques à cause de l'égale gravité de leurs parties. Le mouvement de rotation fait que les parties qui s'éloignent de l'axe font effort pour monter vers l'équateur. Et par conséquent, si la matière dont elles sont composées était fluide, son élévation vers l'équateur augmenterait le diamètre de ce cercle, et son abaissement vers les pôles diminuerait l'axe. Aussi les observations astronomiques nous apprennent-elles que dans Jupiter le diamètre qui va d'un pôle à l'autre est plus court qui celui qui va de l'Orient à l'Occident. Par le même raisonnement, on verra que si notre terre n'était pas un peu plus haute à l'équateur qu'aux pôles, les mers s'affaissant vers les pôles, et s'élevant vers l'équateur inonderaient toutes ces régions » ([3], p.34). Newton postule, sans démonstration, que la figure d'équilibre de la Terre fluide en rotation n'est donc pas une sphère mais un ellipsoïde de révolution. Comme à son habitude, il propose un calcul là où ses prédécesseurs se sont contentés d'affirmations qualitatives. Il détermine l'aplatissement α de l'ellipsoïde (α = (a-b)/a, avec a le rayon équatorial et b le rayon polaire) en appliquant sa théorie de l'attraction générale en 1/r², en supposant que la Terre est homogène et en utilisant la condition suivante (cf. figure ci-dessous) : deux colonnes fluides communiquant au centre de la Terre et rejoignant l'une le pôle et l'autre l'équateur doivent se faire équilibre¹. Pour faire ce calcul, il doit déterminer l'attraction au pôle et à l'équateur d'un ellipsoïde de révolution, et c'est la première fois que l'attraction d'un corps non-sphérique est calculée. L'égalité du poids des deux canaux implique que la colonne rejoignant l'équateur, dont la pesanteur est diminuée par la force centrifuge et par l'attraction d'un corps non sphérique, soit plus longue que celle rejoignant le pôle. Il trouve un aplatissement de α = 5/4 m = 1/230.

En 1690, Huygens propose une autre condition d'équilibre pour la Terre. Celle-ci repose sur la direction de la pesanteur (cf. figure ci-dessous). La Terre garde une forme constante si sa surface est, pour chacun de ses points, perpendiculaire à la verticale : « Cela procède du mouvement journalier de la Terre, et c'est une suite nécessaire de la déclinaison susdite du plomb. Parce que la descente des corps pesants étant parallèle à la ligne de cette suspension, il faut que la surface de tout liquide se dispose en sorte, que cette ligne lui soit perpendiculaire, parce qu'autrement il pourrait descendre d'avantage. Partant la surface de la mer est telle, qu'en tout lieu le fil suspendu lui est perpendiculaire » ([1], p.181). En utilisant cette condition d'équilibre, Huygens cherche l'équation de la courbe méridienne représentant la surface terrestre et il montre que cette courbe se confond avec une ellipse, ce que Newton n'a pas démontré. Puis, en réutilisant la condition d'équilibre de Newton (équilibre des deux canaux partant du pôle et de l'équateur) et en supposant que la gravité est constante à l'intérieur de la Terre, Huygens trouve un aplatissement de α = m/2 = 1/578, plus faible que celui de Newton. La différence des résultats met en évidence leurs conceptions différentes de la gravité.

Source - © 2013 Vincent Deparis

Figure 1. Conditions d'équilibre selon (a) Newton et (b) Huygens

Newton considère que deux canaux partant l'un du pôle et l'autre de l'équateur et se rejoignant au centre de la Terre se font équilibre (a), et Huygens que la surface est en tout point perpendiculaire à la pesanteur (b). Pour calculer la valeur de l'aplatissement, les deux savants utilisent la condition d'équilibre de Newton.

Source - © 2013 Vincent Deparis

Figure 2. Détermination de la forme de la Terre, aplatie (a), sphérique (b) ou allongée (c), par la comparaison de la longueur d'arcs de méridien

Les verticales qui coupent les méridiens sont des normales à l'ellipse et ne se rencontrent au centre de la Terre que dans le cas de la figure sphérique. L'arc de méridien mesuré près d'un pôle est, selon le modèle, plus long((a) Terre aplatie aux pôles), de même longueur ((b) Terre sphérique), ou plus court ((c) Terre allongée aux pôles), que l'arc de méridien mesuré près de l'équateur.

À la fin du siècle, il existe deux modèles de gravité qui impliquent deux valeurs de l'aplatissement différentes. La figure de la Terre permet donc un premier test entre les deux théories de Newton et de Huygens. La détermination expérimentale de la figure de la Terre n'est cependant pas évidente car il faut pour cela comparer des longueurs d'arcs de méridiens mesurées à des latitudes différentes (cf. figure ci-dessus). Les premières mesures, réalisées en France aux alentours de 1700, semblent donner tort à Newton comme à Huygens puisqu'elles impliquent une Terre allongée selon son axe de rotation ! Pour trancher la question, l'Académie des Sciences de Paris décide, sur ordre du roi, d'envoyer deux expéditions françaises, l'une au "Pérou"* en 1735 (composée de Bouguer, Godin, La Condamine, Jussieu) et l'autre en Laponie en 1736 (composée de Maupertuis, Celsius, Clairaut). La mesure de longueurs d'arcs de méridien à des latitudes très différentes doit permettre de déterminer plus facilement et plus précisément la forme de la Terre. Les mesures réalisées permettent de calculer un aplatissement de 1/178 : les théoriciens l'emportent ! Et puisque cette valeur est beaucoup plus proche de celle donnée par Newton que celle avancée par Huygens, le système newtonien de l'attraction universelle de la matière se trouve renforcé. Cette première preuve de la supériorité de la conception de Newton arrive près de 50 ans après que Newton ait formulé sa loi de la gravitation !

Source - © 2013 Pierre Thomas Figure 3. Maupertuis en tenue lapone Gravure avec épigramme par M. de Voltaire : « Le globe mal connu qu'il a su mesurer, / Devient un monument où sa gloire se fonde ; / Son sort est de fixer la figure du monde, / De lui plaire, et de l'éclairer ». In Œuvres de Maupertuis - Nouvelle édition corrigée et augmentée, 1768.	Paris, bibliothèque de l'Institut. Source - © RMN-Grand-Palais Figure 4. Carte de l'arc méridien de Quito
Source - © 2013 Pierre Thomas Figure 5. Carte de l'arc méridien mesuré au cercle polaire Carte et fin du récit de la mission de Maupertuis au cercle polaire. In Œuvres de Maupertuis - Nouvelle édition corrigée et augmentée, 1768.

Si la Terre est aplatie, un point de l'équateur n'est pas situé à la même distance du centre de la Terre qu'un point du pôle. Après la lecture des Principia, Huygens reprend donc son calcul de la variation de la pesanteur, en ne considérant plus une Terre sphérique comme il l'a fait la première fois mais une Terre aplatie (cf. figure ci-dessous). Il calcule que la variation de pesanteur provenant de l'aplatissement de la Terre est égale à celle qui provenait de la rotation. En prenant en compte les deux effets (aplatissement et rotation), la variation est donc le double de ce qu'il a trouvé la première fois (Voir l'annexe). La variation calculée est maintenant trop forte par rapport aux observations. Huygens en conclut que seule la rotation agit et il remet en cause la pertinence de la loi de la gravité en 1/r² dans la proximité des planètes. Il argumente : « Et pour rendre raison pourquoi la seconde variation [la différence d'éloignement] n'aurait pas lieu, je dis qu'il ne serait pas étrange si la pesanteur, près de la surface de la Terre, ne suivait pas précisément, ainsi que dans les régions plus élevées, la diminution que font les différentes distances du centre ; parce qu'il se peut que le mouvement de la matière qui cause la pesanteur, soit aucunement altéré dans la proximité de la Terre, comme il l'est apparemment au dedans » ([1], p.194).

Source - © 2013 Olivier Dequincey

Figure 6. Aplatissement de la Terre en raison de sa rotation journalière

Ellipsoïde aplati aux pôles comparé à une sphère de même volume (cercle en tiretés).

Le rayon terrestre équatorial est de 6378 km et le rayon polaire de 6356 km, soit un aplatissement de 0,00345. La sphère de même volume aurait un rayon de 6367 km (r= (r_éq x r_pol)^1/2).

Pour Newton, les choses sont plus complexes. Puisque pour lui, la gravité d'une planète provient de l'attraction gravitationnelle de toutes les particules de matière qui la constituent, elle dépend de la forme de la planète. La gravité à la surface d'une sphère n'est pas équivalente à la gravité à la surface d'un ellipsoïde puisque la répartition de la matière n'est pas identique. Newton invoque trois raisons pour expliquer la diminution de la pesanteur à l'équateur, et seules les deux premières sont acceptées par Huygens : 1) l'effet de la rotation, 2) le plus grand éloignement dû à l'aplatissement de la Terre, et 3) l'attraction d'un corps non sphérique. Un point de l'équateur est certes plus éloigné du centre de la Terre que le pôle mais la diminution de la pesanteur qui en résulte est amoindrie car un point de l'équateur a plus de matière directement sous les pieds que le pôle. Le renflement équatorial compense en partie le plus grand éloignement. Newton ne fait pas une démonstration générale du problème posé, mais il a l'intuition du résultat, qui est juste pour un corps homogène. Il montre que la variation de gravité entre le pôle et l'équateur est égale au quart de la variation provenant de la rotation : la variation de la pesanteur qu'il calcule est trop faible par rapport aux observations ! Il justifie : « Ces différences [dans l'observation de la longueur du pendule dans différentes régions du monde] doivent être attribuées, partie aux erreurs commises dans les observations, partie à la dissemblance des parties internes de la terre, & à la différente hauteur des montagnes, & partie à la différente température de l'air » ([3], p.45). Il envisage donc différentes influences sur les mesures pendulaires, et en particulier l'effet des irrégularités de la surface et de l'hétérogénéité du globe.

Avec les expéditions géodésiques en Laponie et au Pérou, entre 1735 et 1744, de nouvelles mesures pendulaires sont réalisées à différentes latitudes. Celles-ci confirment les résultats précédents (cf. figure ci-après).

Source - © 2013 Vincent Deparis

Figure 7. Variation de la pesanteur par rapport à celle de Paris en fonction de la latitude

Pour calculer les variations de pesanteur entre Paris et l'équateur, nous avons utilisé les formules données en annexe. Les triangles verts correspondent aux mesures de Laponie et du Pérou.

Les deux conceptions de la gravité de Newton et de Huygens impliquent donc des variations de la pesanteur selon la latitude différentes, ce qui peut donner un nouveau test pour les départager. Malheureusement, aucun des deux modèles ne s'accorde avec les observations : Newton calcule une variation de pesanteur trop faible et Huygens une variation trop forte. Les observations pendulaires ne peuvent donc pas a priori conforter une conception au détriment de l'autre. Cependant le modèle de Huygens ne comporte aucune variable d'ajustement : les observations ne concordent pas et ce résultat est définitif, sans possibilité d'explication future. Au contraire, la non concordance avec les observations ouvre de nouvelles possibilités pour le modèle de Newton. En 1743, Clairaut applique la toute récente méthode de calcul différentiel et intégral au problème de la figure de la Terre. En supposant la loi de la gravitation universelle et en considérant non plus une Terre homogène mais une Terre hétérogène avec une densité qui va en augmentant vers le centre, il montre que les mesures de pesanteur peuvent être parfaitement interprétées. La diminution de la pesanteur du pôle vers l'équateur conforte donc non seulement le modèle de Newton mais en plus elle fournit une des premières contraintes sur la constitution physique de la planète et prouve que la densité augmente avec la profondeur.

Parmi d'autres calculs tous aussi remarquables, Clairaut détermine une relation fondamentale entre l'aplatissement de l'ellipsoïde et les valeurs de la pesanteur au pôle et à l'équateur [6]. Avec nos notations : (g_p−g_e)/g_e=2α_h−α, avec g_p la pesanteur au pôle, g_e la pesanteur à l'équateur, α l'aplatissement de la surface externe et α_h l'aplatissement dans le cas homogène (α_h=1/230). Cette relation est valable pour tous corps en équilibre hydrostatique. Elle donne un nouveau but aux mesures de pesanteur à différentes latitudes : déterminer la valeur de l'aplatissement terrestre pour pouvoir ensuite la comparer à celle trouvée par les mesures géodésiques. Le grand embarras de Clairaut est que les deux valeurs ne correspondent pas, suggérant que la Terre n'est pas à l'équilibre hydrostatique, ce qui remet en cause la pertinence de sa théorie. Ce n'est qu'au début du XIX^ème siècle, à la suite de la révision de plusieurs arcs géodésiques, qu'on comprend que le désaccord entre l'aplatissement trouvé par les mesures géodésiques et celui déterminé par les mesures de pesanteur provenait en fait d'une erreur dans la mesure géodésique en Laponie, à laquelle Clairaut avait lui-même participé ! Les deux méthodes donnent enfin des valeurs concordantes, prouvant que la Terre a bien la même figure que celle que prend une masse fluide.

Aujourd'hui, on peut signaler deux avancées majeures du problème.