Zeer ou le Frigo du Désert

Nous proposons, dans un premier temps, de présenter les grandeurs relatives à la modélisation. Les hypothèses et la mise en équation des phénomènes sont décrits avec précision dans la partie 4.

4.1 Bilan énergétique du système

4.1.1 L'énergie thermique du système : E_Σ

L’énergie du système est directement reliée à sa température T au travers de sa capacité calorifique C, c’est à dire la quantité de chaleur à lui fournir pour élever sa température de 1°C.

Ainsi E_Σ = CT.

Néanmoins, rien n’indique a priori que la capacité calorifique du système ou que sa température soient homogènes. Aussi il faudrait intégrer sur l’objet ces variables locales. De plus, le champ de température ne varie pas de manière homogène mais suivant des profils liés à la géométrie, la capacité calorifique locale et la conductivité thermique locale. Notons néanmoins qu’en régime stationnaire, lorsque les flux entrant et sortant sont égaux, la température n’évolue plus et est homogène dans le tout le système.

Dans notre cas, le Zeer comme le Botijo ont des géométries proches de celle d’un cylindre. Quant à la capacité calorifique, elle est constante en première approximation. Or, si l’on considère un cylindre homogène (C constant) à la température T plongé dans un milieu à la température T₀, la température au centre va tendre vers T₀ de manière exponentielle après un court régime transitoire dû à l’inertie thermique du système. On peut considérer que l’objet se comporte comme un condensateur.

Ainsi, après un court régime transitoire, la température moyenne du système évolue comme la température prise au centre. Aussi nous considèrerons un modèle dont la capacité calorifique et la température sont homogènes.

4.1.2 Flux de chaleur entrant : Φ_entrant

Le flux de chaleur est créé entre le pot et l’air (un fluide). Il s’agit donc d’un transfert convectif et non conductif comme entre deux matériaux en contact. Il n’y a donc pas continuité de la température à l’interface. Néanmoins le flux de chaleur est parfaitement décrit par la loi empirique de Newton :

${\Phi }_{\mathit{entrant}}=\frac{1}{R}(T-T_0)$

Avec T la température du pot, T₀ la température ambiante de l’air et R la résistance thermique de l’interface. Le coefficient de proportionnalité dépend énormément des conditions expérimentales. Il change notamment avec la nature de la surface (type de pot, humidité, etc.) mais aussi avec la convection de l’air (vent, gradient de température, etc.). Nous ne pourrons donc déterminer ce coefficient mais il s’agira d’un paramètre d’ajustement dans notre modèle.

4.1.3 Flux de chaleur sortant : Φ_sortant

Le flux de chaleur sortant est dû à l’évaporation du liquide à la surface du pot. Quand un liquide se trouve à une température inférieure à sa température d’ébullition à la pression considérée, cela signifie qu’en moyenne les molécules n’ont pas assez d’énergie pour passer à l’état gazeux. Cependant cette énergie varie d’une molécule à l’autre et au cours du temps. Aussi, certaines molécules à l’interface avec l’air accumulent suffisamment d’énergie et passent à l’état gazeux. Comme seules les molécules les plus énergétiques passent à l’état gazeux, l’énergie moyenne du reste des molécules diminue. Exactement comme dans l’expérience du démon de Maxwell ! Ainsi le flux d’énergie sortant est donné par :

${\Phi }_{\mathit{sortant}}=L_v\dot{m_e}$

Avec L_v la chaleur latente d’évaporation du liquide, c’est à dire l’énergie nécessaire au liquide pour passer à l’état gazeux par unité de masse et $\dot{m_e}$ le flux massique de matière évaporée.

Le flux de masse s’évaporant est très délicat à estimer. Au premier ordre, la vitesse d’évaporation d’un liquide est donnée par :

$\dot{m_e}\propto {\mathit{SP}}_{\mathit{eq}}(1-H)$

avec S la surface d’évaporation (celle du pot dans notre cas), P_eq la pression de vapeur saturante du liquide s’évaporant et H l’humidité relative correspondante, c’est à dire le ratio de la pression partielle du liquide dans l’air avec P_eq. Ainsi plus l’humidité est faible plus l’évaporation du liquide à la surface du pot est rapide. Le vent est également un paramètre extrêmement important. En effet il permet d’homogénéiser la pression partielle en liquide. Comme le liquide s’évapore à la surface du pot, l’humidité est localement bien plus importante que loin du pot. Ainsi l’évaporation et donc le refroidissement est bien plus rapide dans des environnements secs et ventés.

L’épaisseur du pot et sa porosité sont également importantes. Plus le pot est épais et étanche moins le flux d’eau vers l’extérieur est grand et peut potentiellement devenir le facteur limitant du taux d’évaporation.

Ces paramètres sont délicats à prendre en compte et une dynamique précise dépend énormément du cas pratique considéré. Or nous verrons que dans les différents cas expérimentaux, il est facile de mesurer ce flux, de l’ajuster et de l’injecter dans notre modèle.

4.1.4 Équation de l'évolution de la température

Une balance énergétique nous donne donc une équation de l’évolution de la température du système au cours du temps :

Avec T la température moyenne du système assimilé à sa température centrale (voir partie 2), T₀ la température de l’air ambiant, C la capacité calorifique moyenne du système, L_v la chaleur latente d’évaporation du liquide à la surface du pot, $\dot{m_e}$ le flux de masse s’évaporant (mesuré expérimentalement) et R la résistance thermique entre le pot et l’air ambiant qui est le seul et unique paramètre d’ajustement.

A priori, comme dans tous les problèmes de flux de chaleur, la taille du système est primordiale. En effet sa capacité calorifique totale est proportionnelle à son volume alors que les flux de chaleurs sont eux proportionnels à sa surface. Cependant, dans notre cas, le système est refroidi par l’évaporation du liquide à sa surface et lui est proportionnel si la surface reste mouillée (voir partie 2). Aussi, au premier ordre, l’état stationnaire est indépendant de la taille du système : la température n’évolue plus car les flux de chaleur sont égaux. Seul le temps pour y parvenir en dépend : plus le pot est grand, plus il faudra de temps pour le refroidir et atteindre l’équilibre. Un modèle à échelle réduite est donc pertinent pour étudier la température minimale atteignable avec un Botijo ou un Zeer.

4.2 Modélisation du Botijo

La vitesse d’évaporation peut être considérée constante comme le montre l’évolution linéaire de la masse : la surface d’évaporation varie très peu. Un ajustement permet de mesurer $\dot{m_e}$ = - 41 ± 5 g/h (courbe rouge figure 4a). De même la capacité calorifique et résistance thermique restent a priori constantes.

La courbe rouge de la figure 4b représente la solution de l’équation de l’évolution de la température (suivant l'équation E) au centre du système :

$T(t)=T_{\mathit{eq}}+(T_0-T_{\mathit{eq}}){\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }}$

$T_{\mathit{eq}}=T_0+R{L}_v\dot{m_e}$

Avec τ = RC le temps caractéristique de l’inertie thermique du système. La résistance R est déduite par la valeur de T à l’équilibre. En effet, l’équation E pour un état stationnaire donne :

$\frac{1}{R_{\mathit{fit}}}=\frac{L_v\dot{m_e}}{(T_0-T_{\mathit{eq}})}=\mathrm{4,7}\pm \mathrm{0,5}W/K$

Aussi avec seulement un paramètre d’ajustement, le modèle décrit de manière extrêmement convaincante l’évolution de la température. On peut remarquer que la valeur théorique pour la résistance thermique calculée à partir d’un modèle de cylindre infini d’eau serait du même ordre de grandeur : 2,2 ± 0,1 W/K. La différence peut venir du faire que la terre est un meilleur isolant thermique que l’eau faisant grimper la résistance thermique réelle du système.

4.3 Modélisation du Zeer

Contrairement au cas du Botijo, l’évolution de la masse d’éthanol n’est pas linéaire. Cela vient du fait qu’au cours de l’expérience la totalité de l’éthanol s’évapore et que la surface d’évaporation n’est pas constante : à cause de la gravité, l’éthanol liquide s’accumule en bas du tube alors que le sommet sèche. Au premier ordre, la surface d’évaporation diminue donc linéairement avec la masse évaporée. Si l’on considère que la vitesse d’évaporation est proportionnelle à cette surface, on obtient immédiatement que la l’évolution de la masse décroit exponentiellement :

$\dot{m_e}(t)=m_{e_0}{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{{\tau }_{\dot{m}}}}$

Avec $m_{e_0}$ la quantité initiale d’éthanol (5 mL) et ${\tau }_{\dot{m}}$ le temps caractéristique d’évaporation. En ajustant l’évolution de la masse (courbe rouge figure 4a) on détermine que ${\tau }_{\dot{m}}$ = 250 ± 10 s. On peut noter qu’après 500 s l’évolution de la masse ne semble plus décroître exponentiellement. En réalité la masse additionnelle correspond à de l’eau ayant condensé sur le papier refroidi par l’évaporation de l’éthanol.

L’évolution de la température peut alors être calculée à partir de l'équation E en injectant la solution exponentielle de la vitesse d’évaporation :

Avec τ = RC. Encore une fois, le seul paramètre à déterminer est la résistance thermique du système R.

La figure 6b montre que le système refroidit d’abord sous l’effet de l’évaporation de l’éthanol mais, après 800 s, presque tout l’éthanol s’est évaporé et seul le flux de chaleur entrant persiste : le tube se réchauffe (2). Dans ce cas, le terme de droite de l’équation E devient simplement proportionnel à la différence de température et T(t) évolue comme ${\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }}$ . Ce comportement est confirmé expérimentalement (voir le tracé de T en échelle log-log encart figure 6b) et R est donc obtenu en fitant la solution théorique (droite rouge de l’encart).

Ainsi est obtenue une évolution semi-théorique de l’évolution (équation S) de la température du Zeer tracée en rouge sur la figure 6b. D’une part cette prédiction est en bon accord avec les mesures mais reproduit la décroissance de la température, son minimum et son retour à température ambiante. Un Zeer peut donc lui aussi être décrit de manière convaincante par notre modèle.