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Le cinéma 3D sur votre paillasse de TP - La théorie (2/2)

Romain Albert

ENS de Lyon

Delphine Chareyron

Article paru dans le « Journal de physique et de chimie des étudiants » du département Sciences de la Matière de l'ENS de Lyon, février 2016.

16/01/2017

Résumé

Les méthodes de cinéma stéréoscopique s’appuyant sur la polarisation de la lumière ne sont pas nouvelles mais leur démocratisation est récente. Nous proposons ici une méthode permettant de réaliser une projection 3d à l’aide de matériel courant d’optique. Nous expliquerons dans cet article son fonctionnement en s’appuyant sur le programme de CPGE.


3. Les états de polarisation de la lumière

Nous allons maintenant expliquer le fonctionnement des différents éléments composant notre dispositif expérimental. Pour ce faire nous nous appuierons sur le programme de classe préparatoire de 2013. Les notions utilisées peuvent être retrouvées sur les livres de Physique de 2éme année PC-PC* de l’ancien programme comme [5] ou [6]. Pour aller plus loin, on pourra s’appuyer sur [7] qui propose une discussion un peu plus poussée.

3.1 La polarisation recitiligne

Dans la mesure où toute onde peut être décomposée en une superposition d’ondes planes, nous ne considérerons que celles-ci dans la suite. Pour simplifier, nous considérerons uniquement des ondes se propageant dans la direction uz.

De manière générale, une onde plane polarisée rectilignement s’écrit simplement :

E ( z , t ) = E 0 cos ( ωt kz ) bold E(z,t)=bold E_0 cos(wt-kz)

E 0 est la direction de polarisation.

La plupart des sources de lumière (lampe à incandescence, fluo-compact, LED) ne possèdent pas de polarisation simple, le champ créé possède un vecteur E 0 d’amplitude constante mais de direction aléatoire. C’est pourquoi on les qualifie de sources polarisées aléatoirement. On peut obtenir une onde polarisée rectilignement en dirigeant cette lumière sans polarisation à travers un polariseur dichroïque.

Le polariseur dichroïque est un milieu anisotrope, ces propriétés dépendent de la direction du champ. Ce milieu va absorber le champ selon une direction particuliere tandis qu’un champ dans une direction orthogonale ne va pas être absorbé. Ainsi si une onde polarisée aléatoirement le traverse, la composante colinéaire à la direction d’absorption va disparaître et l’onde sera polarisée rectilignement dans la direction orthogonale.

L’étude de l’impact d’un polariseur dichroïque sur une onde déjà polarisée rectilignement est riche d’intérêt. Considérons une onde incidente polarisée rectilignement selon la direction ux et un polariseur dichroïque dont l’axe passant est selon ux' a subit une rotation d’un angle θ. Les repères sont décrits sur la Figure 6 suivante.

Figure 6 : Repères directs d’étude. Les deux repères ne diffèrent que par une rotation d’angle θ autour de Oz.

L’onde incidente peut être écrite sur les deux repères (simple projection) :

E ( z , t ) = E 0 u x cos ( ωt kz ) = ( E 0 cos ( θ ) u x ' + E 0 cos ( θ ) u y ' ) cos ( ωt kz ) bold E(z,t)=E_0 bold u_x cos(wt-kz)= (E_0 cos%theta bold u_{x'}+E_0 cos%theta bold u_{y'}) cos(wt-kz)

Dans la mesure où seule la partie de l’onde selon l’axe passant traverse le système, l’onde en sortie du polariseur s’écrit :

E ( z , t ) = E 0 u x cos ( ωt kz ) = E 0 cos ( θ ) u x ' cos ( ωt kz ) bold E(z,t)=E_0 bold u_x cos(wt-kz)= E_0 cos%theta bold u_{x'}cos(wt-kz)

Donc si on note I0 l’intensité de l’onde incidente, l’intensité I en sortie de l’analyseur s’écrit :

I ( θ ) E ( t ) . E ( t ) = I 0 cos 2 ( θ ) I(%theta) ∝ langle bold E (t) . bold E (t) rangle =I_0 cos^2%theta

où ⟨ ⟩ représente la moyenne temporelle du détecteur. L’intensité est la grandeur pertinente dans la mesure, c’est ce à quoi l’œil est sensible. Cette loi s’appelle la loi de Malus.

En partant de ce principe, on peut facilement imaginer un dispositif permettant de réaliser un effet stéréoscopique. On polarise rectilignement l’image pour l’œil droit selon ux et l’œil gauche selon uy (directions orthogonales) avant de les superposer sur l’écran. On donne ensuite au spectateur une lunette où le verre droit possède un polariseur passant selon ux et un verre gauche selon uy. L’image droite traverse le verre droit et est absorbée par le verre gauche (et vice-versa à gauche). Cette méthode permet donc bien d’envoyer une image différente sur chaque œil et ainsi d’obtenir un effet stéréoscopique.

Cette méthode a été notamment utilisée au Futuroscope de Poitiers. Malheureusement, on peut facilement voir les limites de cette méthode. Si on tourne la tête de 45°, les images droite et gauche seront mélangées sur les yeux, ce qui détruit l’effet 3d et rend l’image floue. Il faut donc garder la tête relativement droite pendant toute la séance.

3.2 Polarisation des vidéoprojections

Comme nous l’avions précisé dans la partie expérimentale, les sources doivent être polarisées rectilignement pour obtenir des ondes polarisées circulairement facilement. Nous allons voir quel rôle joue la polarisation dans les vidéoprojecteurs courants en expliquant rapidement leur fonctionnement. La source principale pour cette partie est la référence [8]. Il y a plusieurs techniques et de nombreuses variantes, nous nous contenterons d’en détailler deux parmi les plus courantes.

Figure 7 : Principe du vidéoprojecteur DLP/DMD. En variant très rapidement leur position, les micro-miroirs modifient l’intensité réfléchie par la dalle et donc l’image sur l’écran.

Les vidéoprojecteurs DLP/DMD sont présentés en Figure 7, ils utilisent une dalle constituée de miroirs très petits (taille micrométrique) dont on peut faire varier très rapidement la position. Ainsi on peut régler l’intensité qui est renvoyée par la dalle en fonction de la position du miroir. Pour régler séparément les trois couleurs on utilise une roue chromatique. Elle est constituée de filtres de couleur primaire. En tournant, la lumière qui arrive sur la dalle a été filtrée et on constitue successivement les 3 images de couleurs différentes. Ce type de vidéoprojecteur n’est pas polarisé et un simple polariseur dichroïque permet d’obtenir la polarisation rectiligne nécessaire pour réaliser les polarisations circulaires. Il a été le premier utilisé dans les cinémas pour les projections de films numériques, un dérivé de cette technologie est employé en pratique pour les projections de films 3d.

Figure 8 : Principe du vidéoprojecteur tri-LCD. Ce sont ici les pixels des matrices LCD qui permettent de faire varier l’intensité.

Un second type de vidéoprojecteur utilise trois dalles LCD monochromes (tri-LCD de son nom commercial), un schéma est proposé en Figure 8. Les dalles sont constituées de pixel LCD dont le principe est expliqué en figure 9. Ces vidéoprojecteurs exploitent des miroirs capables de séparer des couleurs, ainsi le premier miroir va renvoyer une couleur primaire (ici le rouge) sur une première dalle LCD qui va créer une image rouge. Les deux autres couleurs traversent le miroir et sont séparées sur un deuxième miroir qui va renvoyer une couleur (ici le vert) sur une autre dalle LCD et créer la partie verte de l’image. Il ne reste plus que du bleu qui est utilisé pour constituer l’image bleu. Ensuite, ces trois images sont superposées à l’aide d’un prisme dichroïque avant d’être projetées à l’aide de lentilles.

Cette technique est intrinsèquement polarisée rectilignement à cause de la structure des pixels (Figure 9). Les 3 couleurs ne possèdent en général pas la même polarisation, ce qui pose problème dans notre cas. Il peut être contourné à l’aide d’un polariseur, comme détaillé précédemment (voir Partie 2.2).

Figure 9 : Pixel à cristaux liquides le plus simple. Il est présenté dans l’état passant, en l’absence de champ électrique entre les plaques de verre. En présence d’un champ, les cristaux s’alignent sur ce champ. La polarisation ne tourne plus, le pixel est alors non passant. Source wikimedia commons

3.3 Les polarisations circulaire

Avant de comprendre comment produire des ondes polarisées circulairement, une onde polarisée circulairement s’écrit de manière générale :

E ( z , t ) = E 0 cos ( ωt kz ) u x ± E 0 cos ( ωt kz ) u y bold E(z,t)=E_0 cos(wt-kz)bold u_x +- E_0 cos(wt-kz)bold u_y

On reconnaît alors l’équation d’un cercle dans les plans à z constant. Lorsque le signe est positif, le cercle est parcouru dans le sens trigonométrique, c’est ce que l’on appelle une onde polarisée circulairement gauche. Au contraire, si on considère le signe −, on obtient une onde polarisée circulairement droite car le cercle est parcouru dans le sens anti-trigonométrique.

Si on fait l’hypothèse que l’on peut produire et séparer les polarisations circulaires en fonction de leur chiralité (gauche ou droite), on peut facilement fabriquer un cinéma stéréoscopique. En effet il suffit de polariser circulaire gauche l’image gauche et idem pour l’image droite et de les envoyer sur l’écran. Les lunettes n’ont plus qu’à faire l’analyse des polarisations circulaires pour diriger l’image vers le bon œil. Une onde polarisée circulairement ne possédant pas d’axe privilégié, les mouvements du spectateur n’influencent pas la qualité de la perception. Naturellement, cette solution présente des inconvénients : les moyens employés pour polariser et analyser les polarisations circulaires sont plus complexes.

3.4 Production d'une onde polarisée circulairement

Pour polariser circulairement, nous allons exploiter le phénomène de biréfringence. L’objet de cet article n’étant pas de discuter de la biréfringence, nous présenterons uniquement les notions utiles à sa compréhension. Le lecteur intéressé pourra se référer à [10] qui est assez complet.

Les matériaux biréfringents sont des matériaux diélectriques qui ne présentent pas les mêmes propriétés optiques dans toutes les directions. Dans la suite, on considère un milieu biréfringent uniaxe où deux axes propres d’indices différents font partie du plan Oxy, orthogonal à la direction de propagation (Oz) des ondes planes. On considère que l’axe rapide est la direction ux' avec un indice nx' et l’axe lent est selon la direction uy' avec un indice ny'. L’axe rapide possède un indice optique plus petit que l’axe lent : nx' plus petit que ny'.. Pour clarifier ces notations et le système étudié, voir la Figure 10.

Figure 10 : Représentation du système étudié, θ représente comme précédemment la rotation des systèmes d’axe du champ et du milieu biréfringent (de longueur L).

On éclaire ce milieu avec une onde polarisée linéairement selon ux  : E 0 = E 0 u x bold E_0= E_0 bold u_x Par ailleurs on fixe la phase de l’onde à zéro sur la face d’entrée du milieu biréfringent. Le champ à l’entrée du milieu peut donc s’écrire dans le repère ( ux' , uy' ) lié au milieu :

E ( z , t ) = E 0 cos ( θ ) u x ' cos ( ωt 2 π λ n x ' L ) + E 0 cos ( θ ) u y ' cos ( ωt 2 π λ n y ' L ) bold E(z,t)= E_0 cos%theta bold u_{x'} cos(wt-{2 %pi} over {%lambda}n_{x'}L) +E_0 cos%theta bold u_{y'}cos(wt-{2 %pi} over {%lambda}n_{y'}L)

Calculons le champ en sortie du milieu biréfringent. On considérera que la transmission aux interfaces est parfaite. Par ailleurs, l’indice optique étant différent en fonction l’axe, le nombre d’onde est différent : k x ' = 2 π n x ' λ k_{x'}= {2 %pi n_{x'}} over {%lambda} et k y ' = 2 π n y ' λ k_{y'}= {2 %pi n_{y'}} over {%lambda} On obtient alors le champ sur la face de sortie :

E ( z = L , t ) = E 0 cos ( θ ) u x ' cos ( ωt 2 π λ n x ' L ) + E 0 cos ( θ ) u y ' cos ( ωt 2 π λ n y ' L ) bold E(z=L,t)= E_0 cos%theta bold u_{x'} cos(wt-{2 %pi} over {%lambda}n_{x'}L) +E_0 cos%theta bold u_{y'}cos(wt-{2 %pi} over {%lambda}n_{y'}L)

En redéfinissant l’origine des phases, on obtient :

E ( z = L , t ) = E 0 cos ( θ ) u x ' cos ( ωt ) + E 0 cos ( θ ) u y ' cos ( ωt 2 π λ ( Δ n ) L ) bold E(z=L,t)= E_0 cos%theta bold u_{x'} cos(wt) +E_0 cos%theta bold u_{y'}cos(wt-{2 %pi} over {%lambda}(%DELTA n)L)

Δ n = n y ' n x ' %DELTA n= n_{y'}-n_{x'}

Donc pour obtenir une onde polarisée circulairement, il faut que :

2 π λ ( Δ n ) L = φ = π 2 + p π {2 %pi} over {%lambda}(%DELTA n)L= %ivarphi ={%pi} over {2}+p %pi

p est un entier.

De plus il faut que l’amplitude sur les deux axes soit identique : θ = ±π/4. On obtient alors une onde polarisée circulairement droite ou gauche en fonction du signe de θ et de la valeur de l’entier p. Ce type de lame est appelé une lame quart d’onde, en effet, un déphasage de π/2 correspond directement à un retard d’un quart de longueur d’onde.

Cependant, comme on peut le voir dans l’équation (9), le critère d’accord dépend de la longueur d’onde. Une lame quart d’onde ne peut pas avoir un retard de π/2 pour l’ensemble du spectre visible. La qualité de la polarisation circulaire dépendra donc de la longueur d’onde. Dans le cas présent, nous utilisons une lame quart d’onde ajustée dans le vert car c’est le maximum de sensibilité de l’œil. Le violet et le rouge ne seront pas parfaitement filtrés par l’analyseur (constitué simplement d’une lame quart d’onde puis d’un polariseur), ce qui n’est pas très grave car l’œil y est beaucoup moins sensible.

4. Conclusion

Ce type de dispositif permet de discuter de la production et de l’usage des ondes polarisées circulairement, sujet sur lequel il existe peu de manipulations allant au delà d’une simple production/analyse de polarisation circulaire en monochromatique. Ce montage permet notamment de parler de la difficulté posée par la lumière polychromatique et d’illustrer l’ensemble sur un exemple ludique. Par ailleurs, il permet de mettre en perspective la qualité des projections actuelles par rapport aux résultats obtenus avec ce type de montage et ainsi de réenchanter un peu le cinéma 3d qui reste une belle réussite technique.

J’ai réalisé ce montage durant ma préparation à l’agrégation de physique. Cet article est la preuve qu’elle peut être amusante. Elle constitue par ailleurs une excellente formation expérimentale.

Remerciements

Je tiens à remercier l’ensemble des préparateurs de physique qui nous ont beaucoup aidé pendant l’agrégation. Je remercie Benoit Capitaine et Christian Ballesio qui m’ont permis de réaliser cette manipulation en fabriquant les supports et en commandant le matériel.

Je remercie également Sylvain Joubaud, Michel Fruchart et Thomas Le Reun pour leurs relectures essentielles ainsi que pour nos discussions très fructueuses.

Références:

  • [1] Stereoscopic Pictures Screened, L. Denig. Moving Picture World, juin 1915, P. 2072.
  • [2] Zwei neue stereoskopische Methoden, W. Rollmann, Annalen der Physik 166, 1853, p.186-187.
  • [3] Boîtier Matrox de division d’image, http://www.matrox.com/graphics/en/products/gxm/.
  • [4]Film de démonstration : Elephant Dream, https://orange.blender.org/blog/elephants-dream-in-stereoscopic-3d/
  • [5] Physique Tout-en-un 2e année PC-PSI : Cours et exercices corrigés, A.E. Badel et al., J'intègre (Paris). Dunod, 2004. ISBN : 9782100483846.
  • [6] Optique ondulatoire : 2e année, MP-MP*, PC-PC*, PSI-PSI*, PT-PT*, J.M. Brébec. H prépa Hachette supérieur, 2004. ISBN : 9782011456373.
  • [7] Optique, E. Hecht et al., Pearson, 2005. ISBN : 9782744070631.
  • [8] Télévision haute définition (TVHD) - Affichage. Qualité - Affichage HD, F. Mahieu. Techniques de l'ingénieur TE5684, fév. 2011.
  • [9] Schéma de fonctionnement d’un pixel LCD dans l’état passant. Disponible sur https://commons.wikimedia.org/wiki/File:LiquidCrystalDisplay-field_off.jpg
  • [10] Ondes lumineuses : Propagation, optique de Fourier, cohérence, J.R. Champeau, R. Carpentier et I. Lorgeré. LMD Physique. De Boeck Supérieur, 2009, p. 709-790. ISBN : 9782804158897.