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Ondes électromagnétiques dans un milieu

Retour à l'article Indices optiques : dérivation à partir des équations de Maxwell, signification physique, expression.

En fait, les équations de Maxwell souvent appelées "équations de Maxwell dans le vide" rappelées au paragraphe précédent restent valables dans les milieux matériels à condition d'utiliser les distributions de charges et de courant ρ et j microscopiques rigoureuses. ρ et j doivent ainsi prendre en compte le détail des positions et vitesses des électrons et protons au sein des atomes... Les solutions des équations de Maxwell sont alors les champs électrique e et magnétique b microscopiques. On ne sait cependant pas calculer e et b.

Pour obtenir des équations plus simples, on moyenne les grandeurs e, b, ρ et j sur une échelle de distance s grande devant la taille a des atomes (ceci nous permettra de ne plus avoir besoin de connaître le détail de la répartition des charges à l'intérieur des atomes) mais petite devant la longueur d'onde λ (bien que l'on ne souhaite pas connaître le détail de la structure du champ à l'intérieur de l'atome, on souhaite cependant connaître les variations du champ sur des distances de l'ordre de la longueur d'onde) : on a la relation : a << s << ρ (note : ceci n'est pas toujours possible : dans le cas des rayons X, par exemple, a et ρ sont du même ordre de grandeur).

-la valeur moyenne de e est notée E

-la valeur moyenne de b est notée B

1.2.1. Etape 1 : équations de Maxwell dans les milieux

On cherche à déterminer les équations vérifiées par les champs moyens E et B. Pour cela, il faut introduire quelques définitions avant de faire le calcul. Nous n'allons pas expliciter ce calcul mais uniquement expliquer la nature des termes qui interviennent dans les équations finales.

-on sépare la valeur moyenne de ρ en deux termes différents ρmacro et ρliées.
    ρmacro correspond à la valeur moyenne de la densité des charges libres ainsi que de la charge des ions libres éventuels présents dans le milieu.
    ρliées correspond à la valeur moyenne de la densité des charges liées (électrons et protons) présentes à l'intérieur des atomes neutres du milieu
on a alors

ρ = ρmacro + ρliées

 

-de la même façon, on sépare la valeur moyenne de j en jmacro (courant de charges libres ou de la charge des ions) et jlié (courants liés). On a :

j = jmacro + jlié

 

 


* Note :

La valeur moyenne F(r) d'une grandeur microscopique f(r) s'obtient en calculant l'intégrale :

 

 

F(r) = ∫ W(s) f(r-s) ds

 

où W(s) est une fonction s'annulant sur une distance de l'ordre de s (échelle de distance sur laquelle on effectue la valeur moyenne), elle ne dépend pas de la fonction W(s) choisie.


i. Calcul de ρliées et jlié :

on effectue un développement limité en a/s (les distances interatomiques sont de l'ordre de a) et on obtient, après des calculs que nous ne détaillerons pas ici :
   à l'ordre 1 en a/s,   ρliées = - div P / ε0P est la polarisation (ou densité de moment dipolaire*) moyenne du milieu (à l'ordre 0, la valeur moyenne de la densité de charges liées vaut 0 dans la mesure où il s'agit des charges des atome neutres du milieu).
* Le moment dipolaire p d'un atome de charges qi est p = Σ qi riri est la distance de la charge qi au centre de l'atome.
  
    si on suppose le milieu immobile à l'échelle macroscopique, jlié comprend plusieurs termes dont :
   - ∂ P / ∂ t (les variations de P correspondent à des mouvements de charges, donc à un courant)
   -rot MM est l'aimantation (ou "densité de dipôle magnétique" *) du milieu.

 

* Le dipôle magnétique m d'un atome de charges qi vaut :
m = Σ qi ri × viri et vi sont respectivement la distance au centre de l'atome et la vitesse de la charge qi.

enfin un terme faisant intervenir le quadrupôle électrique, qui apparaît aussi à l'ordre 2 dans l'expression de ρliées.

  
  

 

ii. Equations de Maxwell dans les milieux

Si on définit : D = ε0 E + P, on a, à l'ordre le plus bas du développement :

 

div D = ρmacro

 

et si on définit : H = B0 - M, on obtient

 

 

rot H = jmacro + ∂ D / ∂ t

 

Ces deux équations :

 

1. sont des approximations parce qu'elles ne tiennent pas compte de tous les termes du développement
2. restent complexes, même si la complexité est désormais "cachée" à l'intérieur des champs D et H.

Les deux autres équations de Maxwell restent inchangées. On a toujours :

 

div B = 0

 

rot E = - ∂ B/∂ t

 

1.2.2. Etape 2 : approximation de la réponse linéaire

pour obtenir une équation simple, on va supposer que, dans le milieu étudié, les hypothèses simplificatrices suivantes sont valables :

- en l'absence de champ extérieur appliqué au milieu, jmacro, M et P sont nuls.
On connaît des cas pour lesquels cette condition n'est pas vraie :

    jmacro non nul sans champ extérieur correspond au phénomène de supraconductivité
    P non nul sans champ extérieur correspond au phénomène de ferroélectricité
    M non nul sans champ extérieur correspond au phénomène de ferromagnétisme

- jmacro, M et P répondent linéairement à une onde électromagnétique de fréquence ω, de champs notés Eω et Bω (l'hypothèse précédente étant admise, ceci devrait être valable pour des valeurs de Eω et Bω suffisamment faibles)

- le milieu est isotrope et homogène

Alors, on peut écrire :

Pω(r) = ε0 χe(ω) Eω(r)             χe(ω) = susceptibilité électrique
Mω(r) = χm(ω) Hω(r)             χm(ω) = susceptibilité magnétique
jω macro(r) = σ(ω) Eω(r)             σ(ω) = conductivité du milieu

Pω(r), Mω(r), et jω macro(r) sont respectivement la polarisation moyenne, la densité de dipôle magnétique et la densité de courant induites par l'onde de pulsation ω considérée.

d'où, si on définit la permittivité relative εr et la perméabilité relative μr comme εr(ω) = 1 + χe(ω) et μr(ω) = 1 + χm(ω),

D = ε0 εr E       H = B/(μ0μr)

 

Ecrivons ce que deviennent les équations de Maxwell, en l'absence de charges macroscopiques (ρmacro = 0), dans un milieu isolant (σ = 0) et de susceptibilité magnétique nulle (μr = 1), et pour une onde électromagnétique de pulsation ω donnée, dont les champs E et B s'écrivent : Eω = E0 ei (k.r - ω t) et Bω = B0 ei (k.r - ω t)

rot Eω = - ∂Bω/∂t donne i k × Eω = i ω Bω

div Dω = 0 donne i ε0 εr k.E = 0

div Bω = 0 donne i k.B = 0

on a jω macro(r) = σ(ω) Eω(r) = 0 car σ(ω) = 0, donc la dernière équation de Maxwell s'écrit rot Hω = 0 + ∂Dω/∂t
On a donc :
i k×Bω0 = - 1/c2 ε0 εr Eω
soit
i k2 Eω/ω = εr i ω2 Eω soit k2 = εr ω2/c2 et on obtient finalement :

 

ω/k = c / √εr

 

or, par définition, on a ω/k = c / n donc l'indice n du milieu est donné par la relation :

 

n = √εr

 

Remarques :
- l'indice n ainsi trouvé dépend de ω
- εr, tout comme χe, peut être complexe, donc l'indice lui aussi est un nombre complexe.
- n vérifie aussi la relation n = c B0/E0

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