Le tennis, c'est de la balle !

Une raquette adulte cordée pèse de 270 g à 370 g. La longueur maximale d'une raquette est de 73,66 cm (29 pouces) et la longueur standard des raquettes adultes est de 68,5 cm. Le cordage peut être divers, mais il existe deux grandes familles : les naturels en boyau, et les synthétiques qui peuvent être monofilament (en polyester, kevlar, nylon, aramide, polyéthylène), multifilaments, guipés ou polyvalents, ils sont constitués d’une âme centrale de type monofilament (polyester ou nylon) autour de laquelle sont torsadés les filaments ; on applique par la suite une ou plusieurs gaines siliconées, ou enfin hybrides, par exemple boyau naturel sur les travers et monofilaments sur les montants, figure 2.

Figure 2.  Structures des cordages synthétiques

La jauge, souvent exprimée en millimètre ou en centième de millimètre, correspond au diamètre du cordage ; elle est généralement comprise entre 1,22 mm (jauge fine) et 1,28 mm (jauge épaisse).

La tension du cordage correspond à la force appliquée à chaque corde pour la tendre. Sa valeur se situe en général entre 20 kg et 30 kg soit entre 196 N et 294 N.

Après avoir étudié le rebond sur le sol, nous avons étudié le rebond sur une raquette. Pour cela nous avons construit un dispositif avec la raquette fixe, et la balle lâchée d’une hauteur h_i variable sans vitesse initiale, grâce à une trappe (figure 3) ; pour chaque valeur de lâché h_i nous mesurons la hauteur de rebond h_f.

Pour des raisons pratiques, nous avons choisi de fixer rigidement le tamis. Dans les conditions d'utilisation habituelles, c'est le manche qui est fixe, le résultat doit ici être un peu différent. Nous négligeons ainsi les vibrations entre le manche et le tamis. Dans ce montage nous avons fait de notre mieux pour limiter les vibrations résiduelles dues au choc de la balle sur le tamis.

Figure 3.  Dispositif expérimental mis en place pour la mesure de rebond sur une raquette

Figure 4.  Hauteurs de rebond et énergies potentielles des balles avant et après rebond sur une raquette fixe

Figure 5.  Ef / Ei en fonction de la hauteur du lâché

L’énergie initiale de la balle correspond à son énergie potentielle initiale : E_i = m × g × h_i et son énergie potentielle finale : E_f = m × g × h_f. Les résultats sont présentés figure 4 et 5. L’incertitude sur les hauteurs est évaluée à 2 mm.

On constate que l’énergie perdue par la balle représente toujours environ un quart (26%) de l’énergie initiale, mais si l'on compare au cas d’une chute sur le béton, on perd ici beaucoup moins d’énergie.

Mais où est perdue cette énergie ? Dans la raquette ou dans la balle ?

Nous avons souhaité savoir si la tension du cordage avait une influence sur le rebond. Pour pouvoir faire varier la tension, nous avons élaboré une raquette expérimentale composée d’un cadre en bois ainsi que de clefs de guitare qui permettent de tendre plus ou moins le cordage, figure 6. Ce cordage est monté à la place de la raquette sur le dispositif de mesure, figure 3.

Cette étude est réalisée de manière qualitative car pour plus de simplicité : la distance entre deux cordes est plus grande que sur une raquette et le tressage des cordes est aussi beaucoup plus lâche.

Figure 6.  Tamis expérimental à tension des cordes variable

Grâce à ce montage nous avons pu faire varier le cordage (monofilament et multifilament) ainsi que la tension du cordage. La tension du cordage est mesurée à l’aide d’un haut-parleur : la tension, en Newton, est liée à la fréquence du fondamental de la corde en Hertz par la relation :

$f=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{c}{2l}$

Avec la célérité de l'onde (m/s) : $c=\sqrt{\genfrac{}{}{0.1ex}{}{T}{\mu }}$ ; la tension de la corde $T$ (N) ; la masse linéique de la corde $\mu$ (kg/m) et la longueur de la corde $l$= 20 cm.

Nous avons testé les rebonds pour un cordage monofilament ($\mu$ = 1,7 g/m) et un cordage multifilament ($\mu$ = 1,6 g/m).

Voici notre protocole expérimental : pour une tension de 10 kg (donc de 98 N) en monofilament, nous avons :

$f=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{1}{2\times \mathrm{0,2}}\times \sqrt{\genfrac{}{}{0.1ex}{}{98}{\mathrm{1,7}\times {10}^{-3}}}$

Pour régler la tension de 10 kg sur la corde monofilament, nous écoutons à l'aide d'un GBF branché à un haut-parleur le son produit par le signal de 600 Hertz et accordons la corde, comme sur une guitare.

A posteriori, les incertitudes sont difficiles à estimer sur la précision de ce protocole. On aurait pu utiliser un accordeur (objet ou application smartphone) pour un réglage plus fin.

Voici le tableau que nous avons pu établir pour une hauteur de lâché h_i = 92,5 cm , tableau 2.

Figure 7.  Gauche : Ei - Ef en fonction de la tension ; Droite : Ef / Ei en fonction de la tension, pour les 2 types de cordages

Encore une fois, nous précisons qu'ici on est loin des conditions de jeu du tennis (vitesses des balles, tension du cordage, espace entre les cordes, tressage du tamis, raquette tenue fixe par le manche...)

Les mesures ne sont pas significatives, les incertitudes de mesure sont trop élevées ; on peut conclure que la différence de comportement des deux types de cordage n’est pas flagrante à faible vitesse.

Conclusion : quel que soit le type de rebond, une énergie entre 100 mJ et 200 mJ est perdue par la balle ; il est peu probable que cette énergie ait été transférée au cordage, qui est beaucoup plus rigide que la balle. Où est alors passée cette énergie ?

À titre d'illustration et bien que nous nous éloignions encore une fois des conditions de jeu du tennis, nous avons souhaité étudier la déformation statique d'une balle de tennis.

Pour comprendre où l’énergie est perdue, nous voulons étudier le rapport entre la force appliquée à la balle et sa déformation, figure 8.

Figure 8.  Dispositif expérimental pour mesurer la déformation statique de la balle

Dans ce montage, la plaque de bois fine à droite de la balle nous sert à la compresser sur la partie plus épaisse de gauche. La plaque de droite est vissée sur une jauge de contrainte reliée à un amplificateur HX711 et une carte Arduino.

La partie de gauche, avec la “manivelle”, nous permet de comprimer la balle en comptant le nombre de tours (ou demi-tours) et la compression correspondante.

Pour établir cette correspondance tours-compression, nous avons mesuré que 50 filets de la vis correspondent à une distance de 4,0 ± 0,1 cm.

Pour 1 tour, on compresse la balle de Δx = 0,004 / 50 = 0,8 ± 0,002 mm

Mesures

À l'aide du dispositif, nous avons progressivement compressé la balle en mesurant la compression x (en mm) et la force de compression F (en N). Cette expérience a été réalisée deux fois avec les deux balles : une balle Head et une balle Leclerc, figure 9.

Figure 9.  Compression des balles (en mm) en fonction de la force appliquée (en N)

La courbe obtenue montre un cycle d’hystérésis qui traduit une dissipation de l’énergie du système étudié (la balle). Dans le cas d'un ressort, le tracé serait linéaire. Le ressort restitue toute son énergie.

La balle, entre son état initial (avant déformation) et son état final (après déformation) n’a pas restitué toute son énergie, une partie s’est dissipée : elle correspond à l’aire du cycle tracé, ce que nous pouvons écrire :

$\mathrm{Énergie\; finale}=\mathrm{Énergie\; initiale}-{\int }_0^{\mathrm{T\; final}}F\mathrm{dx}$

Pour les deux cycles, la balle a été comprimée jusqu’à x_max = 16,0 mm.

Tableau 3.  Comparaison des caractéristiques des deux types de balles

	Fmax (N)	Énergiemax (mJ)	Énergie dissipée : aire du cycle (mJ)	Énergiemax/Énergie dissipée
Balle Head Tour	110,0	1763	136	13,0
Balle Leclerc	108,6	1740	134	13,0

On remarque que dans les deux cas l’énergie dissipée est de l’ordre de F_max.x_max/13.

Conclusion : on ne fait pas la différence entre l’énergie dissipée entre les deux balles avec une compression statique ; le comportement du polymère dépend de la vitesse avec laquelle il est sollicité ; il faut faire ces mesures en dynamique.

À l'aide de notre montage expérimental à trappe/tiroir (figure 3), nous avons voulu étudier la dissipation d'énergie d'énergie dans la balle à faible vitesse dans des conditions reproductibles avec possibilité de faire varier la hauteur.

Avec le capteur à jauges de contraintes relié à la carte Arduino, nos résultats étaient imprécis, le capteur continuait d’osciller après le choc avec la balle, ce qui nous empêchait d'interpréter proprement les résultats de l’expérience.

Nous avons essayé plusieurs autres capteurs sans grand succès, de plus il était impossible de mesurer la compression de la balle de manière instantanée en dynamique, aussi nous avons décidé de passer en vitesse « réelle » dans un club de tennis.

L’énergie dissipée doit se retrouver sous forme d’énergie thermique dans la balle. Afin de mesurer le transfert d’énergie thermique dans la balle, il nous est nécessaire de connaître sa capacité calorifique.

Grâce à une expérience de calorimétrie, nous avons déterminé la capacité calorifique d’une balle de tennis (type Leclerc). Au préalable, nous avons découpé la balle de tennis en petits morceaux et l’avons placé dans une étuve à une température constante T_i = 108°C. Le couvercle du calorimètre est percé de deux trous dans lesquels nous avons placé un thermomètre et un agitateur. Après avoir déposé 200 mL (m₀ = 200 g) d’eau à T₀ = 22,5°C dans le calorimètre, on a introduit rapidement les morceaux de balle avant de fermer le couvercle. Nous avons préalablement démarré une acquisition sur Latis-pro pour récupérer en direct la température dans le calorimètre et étudier son évolution au cours du temps. Les mesures du thermomètre sont envoyées en direct à Latis-pro via l’interface. Nous avons attendu que la température se stabilise avant de terminer l’acquisition.

La figure 11 présente les résultats que nous avons obtenus.

Figure 11.  Acquisition de la température dans le calorimètre à l'aide du logiciel Latis-pro

La température finale est T_f = 35,2 ± 0,2°C. Ces résultats nous permettent de calculer la capacité calorique c de la balle de tennis étudiée :

$c=-\genfrac{}{}{0.1ex}{}{(\mu +m_0) c_0( T_{\mathrm{f}}-T_0)}{m(T_{\mathrm{f}}-T_0)}=-\genfrac{}{}{0.1ex}{}{(200+46) \mathrm{4,18} (\mathrm{35,2}-\mathrm{22,5})}{111(\mathrm{35,2}-106)}=$1,66 J.g^-1.K^-1

Où μ = 46 g est la masse d'eau initiale d'eau dans le calorimètre, m₀ = 200 g la masse initiale introduite d’eau, m = 111 g la masse des morceaux de balle, c₀ = 4,18 J.g^-1.K^-1 la capacité calorifique de l’eau, T_i et T_f respectivement les températures mesurées en début et en fin d’expérience et T₀ la température de l’eau placée dans la cuve au début.

Nous ne savons pas de quel polymère est fait la balle, mais le caoutchouc naturel a par exemple une capacité calorifique de c = 2,09 J.g^-1.K^-1, proche de notre mesure.

Nous avons souhaité mettre en évidence l’énergie thermique dissipée dans la balle ; cette énergie étant faible, il nous fallait comprimer la balle de nombreuses fois, afin de mettre en évidence l’échauffement de la balle.

Nous avons construit un dispositif à partir d’une scie sauteuse, permettant de comprimer la balle Head Tour plusieurs fois par minute. Nous avons inséré un thermomètre dans la balle pour mesurer sa variation de température, figure 12.

Figure 12.  Dispositif de compression dynamique de la balle réalisé à l'aide d'une scie sauteuse

Pour mesurer le nombre de compressions pendant la durée d’étude ∆t, il faut connaître le nombre de compressions par seconde, donc la fréquence f de la scie ; nous avons alors utilisé un stroboscope et nous avons mesuré f = 55 Hz.

Le nombre de compressions est donc N = f × ∆t.

La course de la tête : x = 1,8 ± 0,1 cm, correspond à la compression. En utilisant les résultats obtenus par la jauge de compression statique, on estime alors la force maximale à F_max = 140 N. On peut donc minorer les pertes pour une compression par :

ΔE = F.x / 13 = 140×1,8.10^-2/13 = 193 mJ

Avant compression, la température à l'intérieur de la balle est T_i = 20,3°C.

Nous avons réalisé plusieurs mesures de même durée ∆t = 45 secondes de frappe avec notre dispositif, la moyenne des températures finales obtenues est :

T_f = 32 ± 2°C.

L’énergie thermique gagnée à l'intérieur de la balle pour une compression vaut donc :

${\mathrm{\Delta E}}_{\mathrm{th}}=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{mc\mathrm{\Delta T}}{N}=\genfrac{}{}{0.1ex}{}{58\times \mathrm{1,66}\times (\mathrm{31,5}-\mathrm{20,3})}{55\times 45}=$ 436 mJ

Conclusion : on retrouve encore une valeur plus grande que la valeur estimée en statique. Restons encore vigilant sur notre conclusion car nous venons de déterminer l'énergie thermique gagnée à l'intérieur de la balle. Il faudrait mesurer la température du caoutchouc et de la surface de la balle pour comparer avec les résultats obtenus par l'étude statique.

Nous avons repris l’expérience figure 3 avec une balle « chauve ». Voici les résultats :

Conclusion : la valeur moyenne de E_f/E_i est de 0,86 : le feutre absorbe environ 0,86-0,75 = 0,11 soit 11% de l’énergie au rebond, seuls les 14% restants sont dissipés dans le polymère.

Nous nous sommes alors demandés quelle était l’utilité du feutre ? Notre première hypothèse concernait le vol de la balle : le feutre permettrait-il de réduire la trainée aérodynamique ?

Dans la littérature, on apprend que les alvéoles présentes sur les balles de golf, ont pour fonction, à grande vitesse, de faciliter le décollement de la couche limite et donc de réduire la traînée de la balle. L'intérêt est d'améliorer l'aérodynamisme de la balle.

Figure 13.  Les alvéoles permettent de réduire la traînée de la balle de golf. Source ActiveGolfers.com

Nous avons alors réalisé des essais en soufflerie au labo de prépa du lycée et mesuré la trainée pour une balle « chauve » et la balle « avec feutre », figure 14.

Figure 14.  Dispositif expérimental de mesure de la trainée pour une balle « chauve » et une balle « avec feutre »

La vitesse de l’air dans la soufflerie a été mesurée à l’aide d’un tube de Pitot. Nous souhaitions nous placer à une vitesse caractéristique pour des balles de tennis, soit v = 20 m.s^-1, mais la soufflerie ne permet d’aller que jusqu’à la vitesse de 14,5 m.s^-1.

À cette vitesse on mesure :

Conclusion : la trainée est donc supérieure pour la balle avec feutre, ce qui contredit notre hypothèse initiale.

Concernant la balle, on peut dire que son comportement au rebond dépend beaucoup de sa vitesse : à très faible vitesse, chaque choc dissipe environ 13% de l’énergie de la balle. À une vitesse de jeu classique pour le tennis, elle dissipe cette fois entre deux à quatre fois plus d'énergie.

Le feutre est responsable de presque un tiers de l’énergie dissipée ; mais est très important, d'après les joueurs, pour l'accroche de la balle dans la raquette et donc la possibilité de mettre des effets dans la balle.

Nous avons enfin appris, qu’une expérience simple, ça n’existe pas, du moins pas si on veut en tirer des conclusions ! Avons-nous pensé à tout ? N’y a-t-il pas un paramètre oublié ? Avons-nous tout bien noté ? Nous avons beaucoup progressé grâce à ce travail.

Merci à Arnaud BOIRON, agrégé préparateur au lycée SCHWEITZER, Olivier NUSSBAUM, professeur de tennis à Kingersheim et Valérie SEBIRE, du magasin Court Annexe de Brunstatt.