Les principes de la relativité restreinte - Relativité restreinte (2/3)

Marc Vincent

Lycée du Parc, Lyon

Mathilde Glénat

Article produit lors d'une conférence sur la "Relativité restreinte" dans le cadre d'une formation organisée par la section locale de l'Udppc de Lyon .

Cette formation était adressée aux professeurs de Sciences physiques et chimiques pour approfondir les notions du nouveau programme de terminale, 13 juin 2012.

03 - 07 - 2012

Résumé

Cet article permet de comprendre quels sont les principes de la relativité restreinte et les conséquences immédiates.


I. Les principes

« La physique est définitivement constituée avec ses concepts fondamentaux ; tout ce qu'elle peut désormais apporter, c'est la détermination précise de quelques décimales supplémentaires.

Il y a bien deux petits problèmes : celui du résultat négatif de l'expérience de Michelson et celui du corps noir, mais ils seront rapidement résolus et n'altèrent en rien notre confiance… » 1892, Lord Kelvin.

a. Les ruminations d'Einstein : la physique en difficulté

Mais la physique n'est pas un catalogue de tous les points de vue ! Les points de vue peuvent différer (perception des phénomènes) mais les phénomènes sont les mêmes : il n'y a qu'un seul univers ! Comment les concilier ?

Il y a des correspondances entre les points de vue qui se reflètent dans les lois physiques : les lois restent les mêmes (invariance).

Echec de toutes les tentatives pour faire rentrer l'électromagnétisme dans le cadre de la mécanique. L'idée contraire a alors germé d'expliquer la mécanique par l'électromagnétisme : Wilhelm Wien en 1900, Hendrick Antoon Lorentz.

Einstein a sous les yeux l'exemple de la thermodynamique ; l'impossibilité d'un mouvement perpétuel devient un principe fondamental pour en déduire ensuite la forme que devrait prendre les lois de la nature pour le satisfaire. Ce principe d'impossibilité fascine Einstein.

Au lieu de regarder l'impossibilité de mettre en évidence l'éther comme un fait à expliquer à partir de lois connues, il va l'ériger en principe et se demander comment les lois de la nature doivent s'écrire pour satisfaire cette impossibilité. (s'inspire de David Hume, Ernst Mach, Henri Poincaré).

Changement de paradigme :  « Au lieu de considérer la vitesse de la lumière relative dans un espace et un temps absolus , il va reconstruire la physique en considérant au contraire la vitesse de la lumière absolue dans un espace et un temps relatifs. »

b. Les principes

Les lois de la physique doivent être cohérentes. Si elles sont exactes, celles de la mécanique et de l'électromagnétisme sont donc nécessairement compatibles. Pour les réconcilier, Einstein en retient deux résultats parmi ceux qui lui paraissent les plus fondamentaux :

D'où les nouveaux principes :

Un référentiel étant défini comme une portion d'espace associé à un observateur avec un repère spatial (base orthonormée) et d'une chronologie associé à une horloge.

Ensemble ces deux principes semblent suggérer que la lumière se comporte à la fois comme une « particule » et comme « une onde », ou plutôt ni comme une particule ni comme une onde, ce qui est bien un point de vue quantique.

II. Les conséquences immédiates

a. La dilatation des durées ou le ralentissement des horloges mobiles

Retour sur l'expérience de Galilée-Michelson (on remplace la pierre par la lumière). Sous une nouvelle perspective, quand la lumière arrive au pied du mât sur le sol, quelle distance a-t-elle parcourue  selon le point de vue bateau/ plage?

Comment la lumière peut-elle être vue parcourir un chemin plus long si elle ne va pas plus vite ? (second postulat)

Une seule réponse possible ; si, vue de la plage, la lumière parcourt une distance plus grande tout en se déplaçant à la même vitesse, c'est que, vue de la plage, elle dispose de plus de temps. La durée d'un phénomène est aussi une notion relative. Deux observateurs en mouvement rectiligne uniforme relatif n'assignent pas la même durée à un même phénomène physique. On appelle durée propre du phénomène (Minkowski en 1908), la durée la plus courte, lue sur l'horloge du référentiel (l'observateur) qui se trouve immobile par rapport au phénomène .

La durée propre est un intervalle de temps entre deux événements se produisant au même lieu de l'espace . Sinon on parle de durée impropre ou durée mesurée.

On parle aussi de « ralentissement des horloges mobiles », voire de « dilatation des durées » : quantitativement un calcul immédiat conduit à ; 

Voir l'animation sur l'expérience de dilatation du temps

Durée propre dans (R0) = (R) lié au navire se déplaçant à la vitesse V uniforme : T = t 0

Durée dans (R') lié à la plage : T ' = t '

soit par composition du mouvement et du théorème de Pythagore : ( c t 0 ) 2 + ( V t ) 2 = ( c t ) 2

ce qui donne : T ' = γ ( V ) . T ou t = t 0 1 - ( V c ) 2 = γ ( V ) . t 0

Il faut atteindre 85% de la vitesse de la lumière, soit 260 000 km/s pour « dilater » le temps d'un facteur 2.

Ralentissement des horloges mobiles : durée d'un repas pris par un marin sur son bateau.

Vitesse du bateau par rapport à la plage

Durée mesurée par le marin sur sa montre (horloge immobile par rapport au lieu du « repas »)

Durée correspondante sur l'horloge de la plage

30 km.s -1

1 h

1 h 0 mn 0,000 018 s

30 000 km.s -1

1 h

1h 0 mn 18,12 s

100 000 km.s -1

1 h

1h 3 mn 38,7 s

200 000 km.s -1

1 h

1h 20 mn

260 000 km.s -1

1 h

2 h 00 mn

Exemple du muon (vitesse par rapport à la Terre)

Durée de vie du muon dans son référentiel (durée propre)

Durée de vie du muon dans le référentiel de la Terre

298 000 km.s -1

2,2 .10 -6 s

20,1. 10 -6 s

b. La contraction des distances

Une autre conséquence de la généralisation du principe de relativité galiléenne est la relativité de la dimension d'un objet dans le sens de son déplacement .

Les longueurs sont elles aussi des grandeurs relatives ; on devrait donc parler de longueur d'un bateau de 10 m par rapport à la plage, ou par rapport au bateau.

Le mètre qui est en mouvement par rapport à moi, m'apparaît toujours plus court que le mien. On parle d'un « effet de contraction relative des distances. »

Vitesse du bateau par rapport à la plage

Longueur mesurée par le marin sur le bateau (l'objet est immobile)

Longueur correspondante pour un observateur sur la plage.

30 km.s -1

1 m

0,999 999 995 m

30 000 km.s -1

1 m

0,995 m

100 000 km.s -1

1 m

0,943 m

200 000 km.s -1

1 m

0,745 m

260 000 km.s -1

1 m

0,499 m

Exemple du muon (vitesse par rapport à la Terre)

Epaisseur d'atmosphère dans le référentiel terrestre

Epaisseur correspondante dans le référentiel du muon

298 000 km.s -1

6600 m

660 m

On remarque que la longueur L0 mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos ( longueur propre ) est toujours plus grande que celle L qui est trouvée dans le référentiel où il est en mouvement.

Les longueurs sont reliées par le facteur : L = L 0 1 - ( V c ) 2 = L 0 γ ( V )

Remarque : La « contraction des longueurs » est un effet relatif ; elle ne caractérise pas l'objet en soi mais sa relation à l'observateur.

c. Relativité de la notion de simultanéité

Les conséquences des deux postulats d'Einstein sur la vitesse de la lumière sont surprenantes, mais leurs conséquences sur les problèmes de simultanéités sont plus stupéfiantes encore. Elles illustrent en quoi les idées d'Einstein bouleversent nos concepts de temps et d'espace.

Si deux observateurs sont en mouvement relatif uniforme l'un par rapport à l'autre, des évènements séparés dans l'espace et qui sont simultanés pour l'un des observateurs sont, en général, non simultanés pour l'autre et vice versa : la simultanéité est relative. Cela bouleverse complètement les idées newtoniennes.

Voir l'animation sur l'expérience du train

Il est nécessaire de synchroniser les horloges placées en deux lieux distincts, c'est-à-dire contrôler l'identité de leur marche et de l'origine des durées.

Elle est réalisée à l'aide de signaux électromagnétiques. Soient deux horloges H1 et H2 situées en A1 et A2.

Contrôle de la même marche

A l'instant t1 de H1, A1 envoie un signal vers A2 qui le reçoit au temps t2 de H2. A l'instant t1+T de H1, A1 envoie un second signal vers A2 qui doit le recevoir au temps t2+T de H2 si les horloges ont la même marche.

Contrôle de la même origine

A l'instant t1 de H1, A1 envoie un signal vers A2 qui le réfléchit vers A1. Ce dernier le reçoit au temps t1+T'. L'origine des temps des 2 horloges est la même si A2 a reçu le signal au temps t2= t1+T'/2.

Le temps unique ainsi associé à tous les points d'un même repère d'espace est appelé temps du repère.

Un concept important pour le maniement correct des idées est celui d'événement. Les observations du physicien portent sur des « événements », et ces observations peuvent être effectuées à partir de divers référentiels ; on appelle événement tout phénomène physique qui a lieu à un moment donné t, en un point de l'espace déterminé par M(x, y, z). Un événement est donc repéré par quatre cordonnées (x, y, z, t). Un intervalle de temps entre deux évènements est appelé durée , et est généralement noté Δt.

Un événement en physique des particules peut être la création d'une particule, la désintégration d'une particule, l'apparition ou la disparition d'un photon, le choc entre deux ou plusieurs particules… Le mouvement d'une particule est un ensemble d'événements, chacun d'eux étant si on veut le passage de la particule devant un observateur placé en M(x, y, z) quand son horloge marque t.

En physique ondulatoire , un événement peut être le début d'un paquet ou train d'ondes, un autre événement la fin de ce train d'onde (exemple d'une explosion d'une supernovae en astrophysique, effet Doppler, la réflexion d'un signal lumineux sur un miroir mobile ou non…)

Ainsi les mesures de base de la cinématique, mesures de longueurs et durée, seront toujours définies comme mesures de l'intervalle spatio-temporel entre deux événements : l'événement est donc conçu comme indépendant des référentiels, on évite ainsi la référence inconsciente à un espace-temps absolu.

Deux événements sont simultanés si des horloges synchronisées, placées aux points où ils se produisent donnent la même indication.

d. Application moderne : GPS

La mise au point du GPS (Global Positioning System ou Géo-Positionnement par Satellite pour conserver l'acronyme) est l'aboutissement de plusieurs décennies de recherche. En effet, les premiers systèmes de guidage des avions par ondes radio depuis le sol apparaissent lors de la seconde guerre mondiale.

En 1957, des scientifiques américains sont chargés de surveiller les transmissions radio de Spoutnik, le premier satellite artificiel lancé par l'URSS le 4 octobre de cette année. Ils découvrent alors que les variations du signal émis par l'engin spatial (et plus particulièrement la modification de la fréquence du signal qu'il émet par effet Doppler) donnent accès à sa position le long de son orbite à condition de connaître avec précision les coordonnées de l'endroit d'où ils effectuent leurs observations.

Les premiers satellites GPS sont lancés en 1978 (actuellement 31 satellites se répartissant sur 6 orbites inclinées de 55° par rapport à l'équateur et d'altitude moyenne 20 200 km). Le système devient opérationnel sur l'ensemble du globe en 1995 et le 1er mai 2000, le président Clinton annonce la fin du brouillage des signaux destinés aux civils.

Un récepteur du commerce a une précision d'environ 5 m (intervalle de confiance de de 68%, soit 2/3) et qu'il ne se trompe presque jamais de plus de 15 m (3σ).

La précision du GPS vient de la rigueur et de la qualité des lois physiques sur lesquelles il est basé. En particulier, deux effets relativistes dégraderaient considérablement les performances du système s'ils étaient ignorés :

Si on note ∆T0 la durée exacte de 1s mesurée par l'horloge embarquée par le satellite. La durée mesurée par une station sur Terre est T = T 0 1 - ( V c ) 2 ( 1 + V 2 2 c 2 ) . T 0 vus les ordres de grandeur.

D'ou l'écart de durée au bout de 1 jour : T - T 0 V 2 2 c 2 . T 0 = 8,45 . 10 -11 . 24 . 3600 = 7,3  μs/jour soit 2190 m/jour d'écart de distance parcourue par la lumière au bout d'une journée ( 1 m de distance parcourue par une onde électromagnétique en 3,3 ns ).

Le décalage cumulé est donc de 39 μs/jour . Pour le compenser, la fréquence des horloges embarquées est légèrement plus faible que celle des stations au sol : 10,229 999 995 43 MHz au lieu de 10,23 MHz.

Il faut une précision colossale pour les horloges ; sur Terre la dérive des horloges atomiques est 0,1 ns/jour et dans les satellites de 10 ns/jour d'ou la nécessité d'un système de correction de cette dérive et de synchronisation des horloges.

Conclusion

Ce deuxième article a permis de reprendre le cheminement des idées d'Einstein qui a aboutit aux principes de la relativité restreinte. Cette nouvelle théorie a des conséquences immédiates telles que la dilatation des durées, contraction des distances et la théorie de la simultanéité. Dans l'article suivant, "Validation des principes de la relativité restreinte - Relativité restreinte (3/3)" sont mises en avant les expériences qui ont permis de valider ces nouveaux principes.

L'ensemble des articles de ce dossier a été présenté lors d'une conférence : pour écouter en ligne la conférence, synchronisée avec les diapositives et le plan de la conférence : " La relativité restreinte " (durée : 1 h 10 min).

Dossier "La relativité "

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