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Faire des hypothèses...

Gabrielle Bonnet

Gabrielle Bonnet

19/04/2006

Résumé

Faire des hypothèses simplificatrices, calculer une solution, puis vérifier a posteriori la cohérence de la solution avec les hypothèses : une méthode de résolution courante en physique. À partir de l'exemple de deux exercices, mise en évidence des limites de cette méthode.


Considérons ces deux exercices :

Premier exercice : frottements fluides

Soit une petite bille d'aluminium de rayon a = 1,5 × 10-3 m, de masse volumique ρ = 2,7 × 103 kg.m-3 en chute libre dans le glycérol de masse volumique ρg = 1,3 × 103 kg.m-3 et de viscosité η = 1,5 Pa.s

Supposons que, comme la bille est très petite et le liquide visqueux, la vitesse limite de la bille soit suffisamment réduite pour que le nombre de Reynolds soit très petit devant 1. On a alors un écoulement laminaire (pour ceux qui souhaiteraient se rafraîchir la mémoire à ce sujet, voir cet article sur les frottements fluides) et on peut alors utiliser la formule suivante donnant la force de frottement fluide s'exerçant sur cette bille :

F = -6 π η a v, où v est la vitesse de la bille.

Cette formule nous permet de calculer la valeur de la vitesse limite de la bille. On écrit :

4/3 π a3 (ρ - ρg) g = 6 π η a v

ce qui nous donne v = 0,05 m.s-1

Il nous faut vérifier l'hypothèse effectuée au début de l'exercice.

On vérifie la valeur du nombre de Reynolds : 2 v a ρg / η = 0,01. Cette valeur est petite devant 1, donc notre hypothèse de départ est vérifiée.

Deuxième exercice : équation mathématique à deux inconnues

Soit l'équation x + y = 1.

Supposons que x est très petit devant y. Alors, en première approximation, on peut écrire y = 1.

Par suite, x = 0.

Il nous faut vérifier l'hypothèse effectuée au début de l'exercice.

0 est très petit devant 1, donc l'hypothèse de départ est vérifiée...

Quelle est la différence entre ces deux exercices ? Pourquoi le premier serait-il juste alors que le second est manifestement faux ?

On utilise pourtant souvent cette procédure : hypothèse, calculs en fonction de l'hypothèse, puis vérification a posteriori en physique...

Vous pouvez à présent trouver la réponse à cette question en cliquant ici.