Introduction à la relativité

L’espace usuel est à trois dimensions : longueur, largeur et hauteur, ou longitude, latitude et altitude, ou les coordonnées x, y, z dans un repère cartésien.

Mathilde Glénat

Figure 1. Trois coordonnées dans l'espace

Les trois coordonnées d’un repère n’ont pas de signification absolue.

Seule la distanced entre deux points a une réalité physique. En fonction de leurs coordonnées cartésiennes x₁, y₁, z₁ et x₂, y₂, z₂le carré de la distance vaut : $d^2={(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2$ (théorème de Pythagore généralisé de deux à trois dimensions).

Notre espace-temps est à quatre dimensions. Un événement est un point de l’espace-temps, comme par exemple l’accident schématisé figure 2.

Mathilde Glénat

Figure 2.  Coordonnées dans l'espace-temps

Si un individu A fixe un rendez-vous avec son ami B : «  demain à 13h30 », il suppose que B sait de quelle heure il s’agit. C’est généralement l’heure locale du lieu de rendez-vous, qui dépend du fuseau horaire et du pays. Par exemple les horaires d’avions sont donnés en heures locales des lieux de départ et d’arrivée. Les individus A et B peuvent aussi convenir d’utiliser le temps universel (TU ou GMT, heure de Greenwich).

Les deux amis, après avoir synchronisé leurs montres, doivent aussi supposer qu’elles indiqueront exactement la même heure au même instant le lendemain.

Est-ce que le temps est une grandeur universelle ? C’est une question que se posait Einstein et qui l’a conduit à la théorie de la relativité.

Voir aussi l'article « Relativité et vitesse de la lumière ».

La relativité est fondée sur le principe que tout phénomène physique se produit à l’identique dans tous les référentiels galiléens.

En particulier, les lois de l’électro-magnétisme sont les mêmes et, par conséquent, les ondes lumineuses se propagent dans le vide à la même vitesse, quel que soit le référentiel. Puisque la vitesse de la lumière dans le vide est invariante, sa grandeur c devient une constante fondamentale universelle sur laquelle est fondée la théorie de la relativité.

La valeur de c, vitesse de la lumière dans le vide, fournit un rapport fixe entre les mesures de temps et de longueur. Si le temps t n’est plus considéré comme une grandeur particulière, mais correspond à la quatrième dimension de l’espace-temps, il devient naturel de mesurer les quatre coordonnées x, y, z et t avec la même unité: le mètre, la seconde, ou leurs unités dérivées. En physique relativiste, la façon la plus simple d’unifier les unités de temps et d’espace est de fixer c = 1, ce qui est systématiquement fait dans la suite.

On peut alors exprimer les distances suivantes en unité de temps :

Inversement, exprimons quelques durées en unité de longueur :

La vitesse de la lumière dans le vide étant fixée par c = 1, la vitesse v devient une grandeur sans dimension (v remplace le rapport v/c qui apparaît souvent).

On pourra vérifier les valeurs suivantes :

En mécanique relativiste, un corps de masse m au repos contient l’énergie E = m : c’est la relation d’Einstein E = mc², écrite ici avec c = 1.

Les masses et les énergies s’expriment indifféremment en gramme g ou en joule J :

Les lois de la dynamique lient la norme p de la quantité de mouvement et l’énergie E d’un corps en mouvement par la relation fondamentale suivante qui est valable dans chaque référentiel : $E^2=m^2+p^2$

La vitesse $v=\frac{p}{E}$ ainsi que le facteur $\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{E}{m}$ dépendent du référentiel. L’énergie E est la somme de l’énergie au repos m et de l’énergie cinétique E_c . Dans la limite non-relativiste où p ≪ m, on retrouve $E_c=E-m=\frac{p^2}{2m}$.

Pour un observateur immobile dans un référentiel de référence R, un événement de l’espace-temps a lieu au point X = {x, y, z, t}. Un observateur en mouvement à la vitesse v selon l’axe Ox mesure les coordonnées de l’événement dans son référentiel R’, soit X’ = {x’, y’, z’, t’}.

En cinématique usuelle, on déduit X’ de X et t par la transformation simple de Galilée. Seule la coordonnée x est modifiée. Le temps t = t’ est alors universel.

La transformation de Galilée est schématisée par la figure 3.

Pour l’observateur immobile (repère bleu), le référentiel en mouvement apparaît avec l’axe des temps incliné (repère rouge), la pente étant égale à 1/v.

Avec $v=\frac{1}{3}$, on voit par exemple que le point A (x_A = 2, t = 3) se trouve à (x’_A = 1, t’ = 3) dans le repère rouge.

Une propriété importante de la transformation de Galilée est de conserver les distances, comme les durées. On vérifie par exemple que la distance AB est la même pour les référentiels R et R’ : x’_B - x’_A = x_B – x_A.

Mathilde Glénat

Figure 3.  Transformation de Galilée en cinématique non relativiste

On considère à nouveau l’observateur en mouvement à la vitesse v dans la direction de l’axe Ox. Si la vitesse v est très "grande", typiquement si elle est supérieure à environ 1/10 (rappelons que c = 1), la transformation de Galilée est une approximation insuffisante. C’est la transformation de Lorentz qui permet de passer du repère R de coordonnées x, y, z et t au repère R’ de coordonnées x’, y’, z’ et t’. Elle mélange la coordonnée de temps t avec la coordonnée d’espace x. L’intervalle de temps entre deux événements n’a plus de valeur absolue, elle dépend de l’observateur.

Le schéma de la figure 4 montre comment se déforme le repère R (bleu) quand on change de référentiel. Les axes du repère R’ (rouge) font des angles de tangentes v et 1/v avec ceux du repère R. Une surface telle que S qui est un carré pour l’observateur immobile est un losange pour l’observateur en mouvement.

Figure 4.  Transformation de Lorentz

On peut vérifier que la transformation inverse de R’ en R est exactement de la même forme algébrique avec un signe opposé pour v.

Dans l’approximation non-relativiste : v ≪ 1 et γ ≈ 1 , on retrouve la transformation de Galilée, en remarquant que $vx\ll x\ll t$, car pour un observateur toute distance x est généralement très petite devant le trajet de la lumière pendant la durée t d’observation.

Une propriété importante de la transformation de Lorentz est l’invariance par changement de référentiel de la grandeur suivante :

${(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2-{(t_2-t_1)}^2$

C’est analogue à la propriété d’invariance $d^2={(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2$ (carré de la distance) par rotation du repère dans l’espace usuel.

La transformation de Lorentz s’applique également au quadri-vecteur $(p_x,p_y,p_z,E)$ dont les quatre coordonnées sont les trois composantes de la quantité de mouvement et l’énergie totale :

${p\text{'}}_x=\gamma (p_x-v.E)$

${p\text{'}}_y=p_y$

${p\text{'}}_z=p_z$

$E\text{'}=\gamma (E-v.p_x)$

L’invariant dans cette transformation est le carré de la masse $m^2=E^2-{p_x}^2-{p_y}^2-{p_z}^2$

Si la particule est au repos dans le repère R’, v est sa vitesse dans R et l’on a

$({p\text{'}}_x,{p\text{'}}_y,{p\text{'}}_z,E\text{'})=(0,0,0,m)$ et $(p_x,p_y,p_z,E)=(\gamma mv,0,0,\gamma m)$.

Le rapport $\frac{E}{m}=\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ est le facteur de Lorentz de la particule. Ce dernier augmente avec la vitesse v et tend vers l’infini dans le cas ultra-relativiste quand v s’approche de la limite 1.

Figure 5.  Un quadri-repère lié à chaque observateur

La mesure d’une quadri-distance de l’espace-temps est invariante par changement de référentiel et indépendante du quadri-repère.

Entre deux événements notés A et B, la quadri-distance D est donnée par $D^2={(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2+{(z_B-z_A)}^2-{(t_B-t_A)}^2$

La propriété essentielle de D est d’être indépendante du référentiel.

Soit d la distance géométrique et T l’intervalle de temps entre les deux événements, mesurés dans un même référentiel.

$d=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{(y_B-y_A)}^2+{(z_B-z_A)}^2}$

$T=t_B-t_A$

La relation $D^2=d^2-T^2$ conduit à trois situations physiques différentes, selon que d > |T| , d < |T| ou d = |T| .

La figure 6 schématise pour chaque cas les trajets entre le point A et un autre point B du plan Oxt. La bissectrice (pointillés rouge) correspond au trajet AB effectué à la vitesse de la lumière v = 1.

Le premier cas d > |T| est représenté par le trajet AB₁. Sa pente dx/dt par rapoort à l'axe du temps est une vitesse supérieure à celle de la lumière. Aucun objet ni signal ne peut effectuer un tel trajet, ni le trajet inverse. Les points A et B₁ sont non-causaux entre eux.

Le point A ne peut ni voir, ni être influencé par les événements situés dans la portion d’espace indiquée en gris.

Le deuxième cas d < |T| est représenté par le trajet AB₂. Sa pente correspond à un trajet possible effectué de A vers B₂ à une vitesse inférieure à celle de la lumière. La durée du trajet entre A et B₂, vécue par le voyageur, est égale à $\tau =\sqrt{T^2-d^2}=\sqrt{-D^2}$, le nombre D étant imaginaire. On appelle τ le temps propre du trajet.

Le trajet inverse de B₂ en A est impossible, car le temps doit être croissant : l’événement A est dans le passé de B₂ et l’événement B₂ dans le futur de A.

Le troisième cas d = |T| est un cas limite représenté par le trajet de A vers B₀. Il correspond à une propagation à la vitesse de la lumière v = 1. L’onde lumineuse effectue le trajet de A vers B₀ avec D = τ = 0. Son temps propre est nul.

Mathilde Glénat

Figure 6.  Distances dans l’espace-temps et causalité

Une conséquence du facteur γ qui apparaît dans la transformation de Lorentz est l’effet relativiste de dilatation du temps et celui, inverse, de contraction des longueurs.

Figure 7.  Dilatation du temps et contraction des longueurs

Soient deux observateurs Q_A et Q_B, le second étant en mouvement par rapport au premier avec une vitesse v selon Ox. Leurs référentiels sont notés R et R’. On considère un segment OA de la trajectoire de Q_A dans l’espace-temps (figure 7a). Dans le référentiel R de Q_A, les coordonnées (x,t) du début et de la fin de ce segment sont (0, 0) et (0, τ_A). D’après les formules de Lorentz, elles sont (x’, t’) = (0, 0) et (-γvτ_A, γτ_A) dans le référentiel R’ de Q_B. Pour l’observateur Q_B le parcours OA de Q_A a donc une durée γτ_A, supérieure à celle que Q_A a expérimentée. C’est ce qu’on nomme la dilatation du temps.

Les temps τ_A et τ_B sont les durées propres des parcours OA et OB. La durée propre est la durée minimum d’un parcours quand on fait varier le référentiel. Elle est obtenue dans le référentiel où le parcours se fait à vitesse nulle.

Considérons maintenant une barre solide de longueur L, immobile dans R et occupant le segment OC à t = 0. Cet objet balaye une surface dans l’espace-temps, la bande verticale verte sur la figure 7b. La barre est vue dans R’ comme un objet en mouvement occupant le segment OC’ à t’ = 0. Les coordonnées de C’ sont (x, t) = (L, vL) dans R et (x’, t’) = (L’, 0) dans R’. Appliquant la transformation de Lorentz inverse qui donne x = γ(x’+vt’), on obtient L’= L/γ.

On peut aussi obtenir ce résultat en écrivant que L’ est la quadri-distance invariante OC’, donnée dans R par L’² = x²(C’) - t²(C’) = L²- v²L² = L²/γ².

La longueur L’= L/γ est donc inférieure à la longueur L. C’est la contraction des longueurs. Elle n’affecte que la coordonnée longitudinale, les dimensions transverses étant respectées. La longueur de la barre est maximum dans le référentiel où elle est immobile.

On trouve les mêmes effets de dilatation du temps et de contraction des longueurs, avec le même facteur γ que l’on passe de R à R’ ou de R’ à R. Il suffit de considérer que l’observateur du référentiel R est en mouvement relatif de vitesse – v par rapport au référentiel R’. Sur les figures 4 et 7, on a choisi de représenter un des repères, celui du référentiel R, par des axes orthogonaux Oxt (en bleu). Un choix différent est possible.

La dilatation du temps d’un référentiel en mouvement est couramment invoquée pour établir le résultat paradoxal des « jumeaux de Langevin ». L’un reste sur terre, tandis que l’autre voyage au loin à grande vitesse et revient après de nombreuses années. Au retour, chacun constate que le jumeau voyageur est moins vieilli que le jumeau sédentaire, car le temps propre vécu par le jumeau voyageur est inférieur au temps du référentiel terrestre où ils se retrouvent.

Le paradoxe est que l’on arriverait au résultat inverse en considérant que c’est le jumeau sédentaire qui est en mouvement relatif par rapport au jumeau voyageur. Il y a donc une dissymétrie entre le référentiel terrestre et le référentiel du jumeau voyageur.

La démonstration suivante est basée sur l’invariance de la quadri-distance dans l’espace-temps. On en déduit une inégalité triangulaire sur les temps propres inverse de celle des distances usuelles.

Mathilde Glénat

Le repère Oxt est celui du référentiel R du jumeau immobile. Les trajets AB et BC sont parallèles aux axes Ot₁’ et Ot₂’ des deux référentiels successifs R₁’ et R₂’ du jumeau en mouvement . Ces axes ne sont pas représentés ici, voir figure 5.

Figure 8.  Les trajets des jumeaux dans l’espace-temps

La figure 8 représente les axes de l’espace-temps du référentiel R du jumeau sédentaire et les points des trois événements suivants : A, le départ du jumeau voyageur, B l’événement du demi-tour que nous supposons instantané, C la rencontre au retour. On suppose qu’il a effectué chacun des trajets à vitesse constante, v₁ à l’aller AB et v₂ au retour BC. On note τ₁ et τ₂les temps propres de ces trajets et d la distance d’éloignement HB avant son demi-tour.

Calculant les temps propre dans le référentiel R (voir le deuxième cas dans la partie 6) on a ${\tau }_1=\sqrt{{t_1}^2-d^2}$et ${\tau }_2=\sqrt{{t_2}^2-d^2}$.

On en déduit ${\tau }_1<t_1$ et ${\tau }_2<t_2$ soit ${\tau }_1+{\tau }_2<t_1+t_2$

Donc le temps propre total du jumeau voyageur est inférieur à celui du jumeau sédentaire. Il n'est pas nécessaire de passer par la relativité générale pour établir ce résultat.

La dissymétrie entre les deux jumeaux provient du fait que le référentiel du jumeau voyageur a changé au point de demi-tour.

On considère une fusée accélérée. A chaque point M du voyage, on associe le référentiel instantané de la fusée R_f(M). On a donc une suite infinie continue de référentiels galiléens. On suppose que l’accélération au point M, mesurée dans le référentiel R_f(M), est une constante a.

Mathilde Glénat

La figure 9 représente la trajectoire de la fusée dans l’espace-temps, en prenant comme référentiel celui de la base de lancement. On démontre que c’est une hyperbole. (voir note ci dessous)

Figure 9.  Trajectoire d’une fusée accélérée dans l’espace-temps

Dans cet exemple, avec a = 1 an^-1 = 9,50 m.s^-2, on considère le point A que la fusée atteint après un temps propre τ = 1 an. Dans le référentiel R, on mesure alors une vitesse v = 0,7616 c, le temps est alors t = 1,175 an  et la distance parcourue x = 0,543 année-lumière.

Quand la vitesse de la fusée s’approche de la vitesse de la lumière, l’hyperbole tend vers son asymptote d’équation x = t - 1/a (soulignée en jaune), qui représente un horizon pour la fusée. En introduisant les coordonnées y et z, c’est un hyper-plan à trois dimensions dans l’espace-temps. Aucun signal lumineux émis derrière l’horizon (zone en vert) ne peut parvenir à la fusée si celle-ci ne cesse pas d’accélérer.

Les deux cosmonautes qui sont à l’intérieur de la fusée ressentent la pesanteur artificielle créée par l’accélération. L’un est en « bas » et l’autre est en « haut », aux points en A₀ et B₀ à l’instant t = 0. Si le premier envoie en A₀ un signal lumineux vers le deuxième, celui-ci le reçoit en B, avec un décalage spectral vers le ‘‘rouge’’ (figure 9).

Ce décalage s’explique par un effet Doppler, dû à l’accroissement ∆V = a.∆h de la vitesse de la fusée entre l’émission en A₀ et la réception au point B de l'espace-temps, la distance dans la fusée entre les cosmonautes étant ∆h.

Le décalage relatif de la période T (ou son opposé en fréquence υ) est au premier ordre en ∆h :

$\frac{∆T}{T}=-\frac{∆\upsilon }{\upsilon }=∆V=a.∆h$

Un décalage inverse - a.∆h vers le bleu apparaît pour un signal envoyé du haut vers le bas. Supposons que chacun des cosmonautes dispose d’une horloge atomique ou d’une montre à quartz (insensibles aux effets d’accélération, contrairement à une pendule). Ils comparent leurs mesures δ_A et δ_B de l’intervalle de temps entre deux éclairs lumineux se propageant entre A et B. Ils obtiennent comme précédemment le décalage relatif $\frac{{\delta }_B-{\delta }_A}{{\delta }_A}=a.∆h$. Ils en déduisent donc que leurs horloges ne tournent pas à la même vitesse, celle d’en bas tournant plus lentement.

Mathilde Glénat

Figure 10.  Décalage de fréquence des signaux envoyés dans une fusée accélérée

En raison du principe d’équivalence, on attend le même effet dans un champ de pesanteur. C’est alors un phénomène qui relève de la Relativité Générale.

Une première confirmation du décalage spectral gravitationnel fut obtenue par Pound et Rebka en 1960. Du haut en bas d’une tour de 22,5 m, ils ont détecté des écarts relatifs de l’ordre de 10^-15 sur la fréquence d’une raie gamma du fer radioactif (⁵⁷Fe, 14 keV).

Le GPS (Global Positionning System) prend également en compte une faible variation de vitesse des horloges en fonction de leur altitude, de l’ordre 10^-13 par km. Pour en savoir plus, voir une conférence sur le fonctionnement du Global Positionning System (GPS).

Le GPS utilise un temps "universel", valable à l’échelle de notre planète. Les horloges locales peuvent retarder ou avancer, mais on peut calculer exactement les corrections à faire par rapport au temps universel.

On a résumé quelques résultats essentiels de la relativité restreinte introduite par Einstein. La vitesse c de la lumière jouant un rôle essentiel, on a constamment fixé c = 1 ce qui identifie les unités de temps et de longueur, ainsi que les unités de masse et d’énergie. On a utilisé la représentation géométrique de l’espace-temps et l’invariance de la quadri-distance pour comparer les observations faites à partir de deux référentiels galiléens en mouvement l’un par rapport à l’autre. On montre également quelques résultats de la relativité restreinte concernant le cas d’une fusée accélérée, applicables, grâce au principe d’équivalence, au décalage spectral gravitationnel.

Voir aussi :