L'électricité de la maison : section des fils

Pour un fil cylindrique de rayon r, de longueur L, de résistivité ρ (ρ = 1,724 × 10^-8 Ω.m dans le cas du cuivre) parcouru par une intensité efficace I, on a :

P_Joule (puissance thermique produite par effet Joule) = R I² (R= résistance du fil) = ρ L/(π r²) I²

Si l'appareil branché sur ce fil consomme une puissance efficace P, cette puissance est reliée à l'intensité et à la tension efficaces I et U via la relation :

P = k U I (k < 1) avec k = 1 pour un récepteur passif soit

P_Joule = ρ L/(π r²) P²/(k²U²)

Cette puissance dégagée va faire augmenter la température du fil.

Si celui-ci était "parfaitement" isolé thermiquement, le processus continuerait jusqu'à la fonte du fil...

On peut montrer que, la capacité thermique du cuivre étant de 3,9 × 10² J/kg/K et sa masse volumique de 8,9 × 10³ kg/m³, 10 min de fonctionnement parfaitement isolé pour alimenter un récepteur passif d'1 kW entraînerait une hausse de température du fil d'une soixantaine de degrés!

Heureusement, ceci ne se produit pas car la chaleur du fil s'évacue...

La gaine du fil doit donc idéalement isoler le fil du point de vue électrique, mais ne doit pas être un "trop bon" isolant thermique. La gaine doit par contre résister à l'élévation de température engendrée par l'échauffement du fil.

On va choisir le modèle simple d'un fil nu (non gainé) en contact avec de l'air immobile. On verra que ce modèle permet d'ores et déjà des calculs qualitatifs intéressants. On a :

P_évacuée ∝ (T_fil - T_extérieur) × Surface de contact entre le fil et l'air

(la température à l'intérieur du fil, dans ce modèle, est considérée comme homogène. Pour une section de l'ordre du millimètre carré, cette approximation est raisonnable)

soit

P_évacuée ∝ (T_fil - T_extérieur) × 2 π r L

Le coefficient de proportionnalité est appelé "coefficient de rayonnement" en l'absence de convection au voisinage du fil. Il est déduit de la loi de Planck, et est de l'ordre de la dizaine dans notre cas.

Dans la pratique, le phénomène de convection si le fil est dans un endroit ventilé modifie le coefficient de proportionalité, bien qu'il ne modifie pas le reste de la relation. De plus, le fil n'est que rarement nu. Faire intervenir sa gaine plastique exige de connaître sa forme exacte et sa nature, qui varie suivant les fils (gaine simple entourant un seul fil, gaine entourant un ensemble de plusieurs fils, gaines multiples, etc.)...

La variété des situations est trop grande pour espérer faire ici un calcul quantitatif général, seuls des calculs sur chaque cas particulier sont possibles... On peut néanmoins faire des raisonnements qualitatifs ou semi-quantitatifs intéressants, et c'est ce que nous allons faire dans la suite de ce paragraphe. Pour l'essentiel, les résultats obtenus sur un fil nu donnent déjà une bonne idée de la situation...

On voit que la puissance dissipée par effet Joule ne dépend pas de la température du fil, tandis que la puissance évacuée est d'autant plus grande que l'écart de température entre le fil et l'extérieur est importante. Par conséquent, la température du fil va d'abord augmenter (lors de cette phase, P_évacuée < P_Joule) avant d'atteindre une valeur limite pour laquelle P_évacuée = P_Joule, soit, en ordre de grandeur (k est de l'ordre de 1) et en simplifiant par L de part et d'autre de l'équation:

ρ/r² P²/U² = Coefficient de rayonnement × (T_fil - T_extérieur) r

ou P²/r³ ∝ (T_fil - T_extérieur)

Si la température d'équilibre est supérieure à la température de fusion des composants en contact avec le fil, il y a danger. Dans le cas réaliste d'un fil gainé, on veut éviter la fonte de la gaine... On veut aussi, bien évidemment, éviter que l'échauffement des fils n'endommage les objets avec lesquels ils sont en contact ou créent un incendie. La température d'équilibre du fil doit donc être sensiblement inférieure à une centaine de degrés. On voit que la température limite atteinte ne dépend pas de la longueur du fil (ce dont on pouvait se douter) mais de sa section. Lorsque la puissance de l'appareil augmente, on voit que, pour que la température du fil ne dépasse pas la valeur maximale autorisée, il faut augmenter la section du fil.

Courts-circuits et fusibles :

un des risques importants d'incendie d'origine électrique dans une maison est le court-circuit. Dans le cas d'un court-circuit, l'intensité traversant les fils devient subitement très élevée, et, par suite, l'échauffement des fils augmente fortement. Le but des fusibles est justement de fondre et de couper ainsi le circuit avant que la température des fils électriques ne devienne dangereuse.

En ordre de grandeur, on peut écrire :

ρ/r² P²/U² = Coefficient de rayonnement × (T_fil - T_extérieur) r

ρ ∼ 10^-8 Ω.m

P ∼ 10³ W

U ∼ 10² V

Coefficient de rayonnement : de l'ordre de 10 W.m^-2.K^-1

(T_fil - T_extérieur) est de l'ordre de 10 K pour que les fils et leurs gaines plastiques ne fondent pas.

On en déduit que r³ ∼ 10^-8 m³ ce qui nous donne r de l'ordre du millimètre.

Ceci correspond bien aux normes en vigueur : je trouve ainsi, par exemple, un fil double de section de 1 mm² correspondant à une puissance maximale de 1,3 à 1,5 × 10³ W, un fil rigide de section de 4 mm² correspondant à une puissance de 4 × 10³ W, etc.