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Périmètre d'une ellipse

Les coordonnées de l'ellipse, en coordonnées cartésiennes (centre O, axes OA et OB), sont :

 

x2/a2 + x2/b2 = 1

La distance ds parcourue lorsqu'on se déplace de dx et dy le long de l'ellipse est :

ds2 = dx2 + dy2 = b2

On calcule dy en fonction de dx, et on écrit P (périmètre de l'ellipse) =4 ∫premier quart de l'ellipse ds. On obtient alors :

 

P = 4 ∫0a [1 + b2 x2 a-4 (1 - x2/a2)-1]1/2 dx

On peut mettre cette intégrale sous une forme plus agréable moyennant le changement de variable : x = a sin θ

Ceci nous donne l'expression :

P = 4 a ∫0π/2 (1 - e2 sin2 θ)1/2