Ressources scientifiques
pour l’enseignement de la physique

Un partenariat entre

ENS Lyon Eduscol
Outils personnels
Navigation

Aller au contenu. | Aller à la navigation

Vous êtes ici : Accueil Classement par types de ressources Documents html Démonstration de l'isochronisme des grandes oscillations dans le cas du pendule cycloïdal de Huygens

Démonstration de l'isochronisme des grandes oscillations dans le cas du pendule cycloïdal de Huygens

retour à l'article principal

 

Démonstration

Remarque : cette démonstration ne correspond pas à la démonstration géométrique de Huygens

 

La démonstration que l'on trouve dans les livres est souvent plus géométrique mais faire la démonstration complète de cette façon requiert des connaissances de mathématiques sur les développantes et développées que tout le monde ne possède pas... Voilà pourquoi nous avons choisi ici une démonstration analytique qui nous permet de maîtriser la totalité de la démonstration.

 

  • Equation de la gorge cycloïdale :

 

On va représenter la cycloïde donnant le profil de la gorge du pendule dans un repère (x,z) tel que le point d'attache du fil soit à x = z = 0.

dans ce cas, l'équation du profil de la gorge de gauche sur le schéma est :

x = a (- θ + sin θ)

z = a (cos θ - 1)

on choisit un pendule tel que, lorsqu'il est totalement enroulé sur la gorge, la masse se trouve exactement au niveau du minimum de la cycloïde, le point θ = π, x = - a π, z = - 2 a.

On veut montrer que, quelle que soit la position de départ à partir de laquelle on le lâche, le pendule arrive à sa position d'équilibre (x = 0) dans le même temps.

Pour cela, il nous faut déterminer tout d'abord le mouvement de l'extrémité du pendule et donc les coordonnées de la courbe qu'il décrit.

 

  • Courbe décrite par l'extrémité du pendule

Calculons la longueur de fil en contact avec le profil lorsque le pendule est enroulé sur la joue jusqu'au point de la cycloïde pour lequel θ = θ1
On calcule d'abord l'abscisse curviligne s au point x, z de la cycloïde à partir de l'expression ds/dθ = (dx/dθ2 + dz/dθ2)1/2.
On obtient (le calcul est laissé au lecteur) ds/dθ = 2 a sin θ/2 soit s(θ1) = 0θ1 ds/dθ = 4 a (1 - cos θ1/2)

lorsque θ1 = π, tout le fil est enroulé et s(π) = 4 a donc la longueur totale du fil est 4 a.
La longeur du fil enroulée est 4 a (1 - cos θ1/2), la longueur libre est par conséquent llibre = 4 a cos θ1/2.
La direction du fil libre est la tangente à la cycloïde au point θ = θ1 qui est donnée par la direction du vecteur (dx/dθ , dz/dθ) soit u = (- sin θ1/2 , - cos θ1/2)

Les coordonnées de la masse, à l'extrémité du fil sont donc, lorsque le paramètre est θ :
X = x(θ) + llibre × (- sinθ/2)
Z = z(θ) + llibre × (- cosθ/2)

ce qui donne :

 X = - a (θ + sinθ)  ,  Z = - a (3 + cosθ) 
On peut remarque que cette équation est celle d'une cycloïde de mêmes charactéristiques que la première à une translation près : l'extrémité du pendule a une trajectoire cycloïdale.

 

  • Période du pendule

Soit V la vitesse de la masse du pendule, on a V = (dX/dt,dZ/dt) = - 2 a cosθ/2 θ'(t) ww = (cos θ/2, - sin θ/2) est perpendiculaire à u (direction du fil) donc à la tension T du fil.

Le théorème de l'énergie mécanique donne :
1/2 V2 + g Z = constante
(la tension du fil, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas)
soit
2 a2 cos2(θ/2) θ'2 + g Z = g Z0
(Z0 est l'altitude à laquelle on lâche le pendule sans vitesse initiale)
soit, moyennant un calcul peu agréable mais sans difficulté :
- Z'2 (Z/a + 2)-1 = g (Z0 - Z) ou Z' = - (g/a (Z0 - Z) (Z + 4 a))1/2

La période du pendule vaut T = 4 1/4 de période dt = 4 1/4 de période dZ/Z' = 4 Z0-4 a dZ/Z'
ce qui donne, grâce au changement de variable Y =(Z + 4 a)/(Z0 + 4 a)

T = 4 01 (g/a (1 - Y) Y)-1/2 dY
qui est indépendant de Z0, donc le pendule est bien isochrone.

N.B.: la période est la même que celle du pendule ordinaire pour des oscillations infinitésimales, soit T = 2π (4 a/g)1/2 (4 a est la longueur du fil du pendule cycloïdal).

retour à l'article principal