Perturbations de la trajectoire de la Lune

La Lune a une trajectoire complexe, sujette à de nombreuses variations, dont nous allons résumer les principales.

Gabrielle Bonnet

Figure 2. Inclinaison du plan de l'orbite de la Lune par rapport au plan de l'écliptique de la Terre

La trajectoire de la Lune est sujette à des variations périodiques :

De plus, la Lune s'éloigne petit à petit de la Terre, de quelques centimètres par an (4,4 ± 0,6 cm/an)...

Quelle est l'incidence de ces variations sur les paramètres de l'orbite lunaire (et entre autres choses son périmètre) ?

En fait, les distances données sont soit des valeurs moyennes, soit des valeurs prises à un instant donné : les variations de l'orbite de la Lune sont telles que si on regarde les derniers mois (juillet 2004 à septembre 2004), on trouve :

Au cours de 3 mois, le périgée varie d'à peu près 3% et l'apogée de 0,4% environ... Les incertitudes correspondantes sur la valeur du périmètre de l'orbite lunaire sont de l'ordre du %!!

Le mouvement d'une planète comme Mercure autour du Soleil est beaucoup plus simple que le mouvement de la Lune autour de la Terre. D'où vient cette différence?

Les forces mises en jeu sont de même nature : ce sont des forces gravitationnelles. Le corps céleste gravite autour d'un axe central (le Soleil pour Mercure, la Terre pour la Lune) et est perturbé par l'influence gravitationnelle des autres astres. Cependant, les ordres de grandeurs de masse de l'astre central et des astres perturbateurs sont différents selon que l'on étudie le mouvement de la Lune ou celui de Mercure.

Lorsqu'on étudie le mouvement de Mercure autour du Soleil, les autres planètes ont une masse très petite par rapport à celle de l'astre central et de plus, les planètes sont très petites par rapport à la distance Mercure-Soleil et par rapport aux distances entre Mercure et les autres planètes : en première approximation, donc, Mercure est un simple point matériel en interaction avec le Soleil, l'influence des autres planètes se traitant comme une petite perturbation de cette approximation.

Le cas de la Lune, soumise à l'attraction du Soleil et de la Terre principalement, est plus compliqué : assimiler la Lune et la Terre à des points matériels, c'est faire une approximation beaucoup plus grossière; de plus, un des astres susceptibles de perturber la trajectoire de la Lune, le Soleil, est beaucoup plus massif que l'astre central. C'est ainsi qu'au XVII^ième siècle, alors que l'on souhaitait disposer d'une horloge suffisamment précise pour que la marine puisse mesurer les longitudes avec une précision raisonnable pour éviter les nombreux naufrages qui avaient lieu à cette époque, le mouvement de la Lune, qui avait d'abord été considéré comme une horloge "naturelle" possible, a dû être abandonné au profit d'horloges mécaniques... Aucun des calculs de l'époque n'avait réussi à prédire le mouvement de la Lune avec assez de précision pour que ces prédictions puissent servir dans la marine.

Un coup d'oeil sur les forces s'exerçant sur la Lune

La Lune, en première approximation, est soumise à l'action gravitationnelle du Soleil et à celle de la Terre. Comparons ces deux forces :

la norme de la force F_S exercée par le Soleil sur la Lune est :

F_S = G M_S M_L/SL²

et celle de la force F_T exercée par la Terre sur la Lune est

F_T = G M_T M_L/TL²

(SL = distance Soleil-Lune ≃ distance Soleil-Terre ≃ 1,5 × 10¹¹ m, TL = distance Terre-Lune ≃ 3,8 × 10⁸ m, M_S = masse du Soleil ≃ 1,989 × 10³⁰ kg, M_T = masse de la Terre 5,98 × 10²⁴ kg)

Si on fait le rapport entre ces deux forces, F_S/F_T, on obtient un rapport de 2 environ : les deux forces sont donc du même ordre de grandeur. La trajectoire de la Lune, dans le référentiel de Copernic est effectivement une trajectoire complexe associant un mouvement de rotation autour du Soleil à un mouvement de rotation autour de la Terre.

Le problème devient plus simple si on le considère dans le référentiel géocentrique, comme on le fait généralement en lycée. Effectivement, comme la Terre et la Lune sont quasiment à la même distance du Soleil, elles subissent de la part de ce-dernier quasiment la même accélération. Par suite, en se plaçant dans le référentiel géocentrique, en première approximation l'accélération subie par la Lune de la part du Soleil s'élimine avec l'accélération de la Terre.

Toutefois, et c'est là la source de la complexité du mouvement de la Lune, cette simplification n'est possible qu'en première approximation : l'influence du Soleil sur la Lune est la perturbation majeure que subit la Lune dans le référentiel géocentrique, devant les autres perturbations que constituent les effets de non-sphéricité de la Terre, l'influence des autres planètes, etc...

En fait, lorsque la Lune se déplace sur son orbite autour de la Terre, elle est tantôt un peu plus près du Soleil que la Terre, tantôt un peu plus loin qu'elle : quand la Lune est plus près, elle est sur une orbite plus basse, et, par suite, elle subit une accélération, dans le référentiel de Copernic, de norme plus importante que celle de la Terre. Lorsque la Lune est plus loin, elle est sur une orbite plus haute, et elle subit donc une accélération de norme plus faible que celle de la Terre. De plus, les directions de l'accélération subie par la Lune de la part du Soleil et de celle subie par la Terre sont légèrement différentes.

Gabrielle Bonnet

Cette image, qui ne respecte aucune échelle, donne une idée de la situation : la Lune, plus éloignée que la Terre, subit de la part du Soleil une accélération (vecteur en rouge) de norme plus faible que celle de la Terre. La direction de cette accélération, qui est dans les deux cas dirigée vers le Soleil, est différente lorsque la Lune, la Terre et le Soleil ne sont pas complètement alignés, c'est-à-dire en-dehors des éclipses (comme le plan de l'orbite de la Lune fait un angle de 5° environ avec le plan de l'écliptique, ces trois corps célestes ne sont pas généralement alignés en période de nouvelle ou de pleine Lune)

Figure 3. Mise en situation des contraintes d'alignement du Soleil avec la Terre et la Lune

Lorsqu'on soustrait les accélérations pour se placer dans le référentiel géocentrique, on se retrouve donc avec des termes perturbatifs résiduels. L'importance relative de ces termes, due à la masse très importante de l'astre perturbateur (ici le Soleil), fait du calcul de la trajectoire précise de la Lune un problème très délicat, source de nombreuses difficultés.